Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales Introducción Ecuación del Calor Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de Sobrerrelajación Problema del Condensador
Métodos directos frente a métodos iterativos DIRECTOS Ax =b x = A b Tamaño moderado Modifican la estructura Error de redondeo ITERATIVOS x = Cx + d x(k+1) = Cx(k) + d Tamaño grande Conservan los ceros Error de truncamiento
Convergencia y número de operaciones Coste (para matrices densas) Directos: n3 Iterativos: k.n2 Convergencia Criterio de parada:
Ecuación del Calor Sistema de ec. lin. Matriz asociada T0 T1 T2 . . . Tn Tn+1
Matriz de la Ecuación del Calor con MATLAB
function A = mcalor1(n) v = ones(1,n-1); A = 2*eye(n) – diag(v,1) – diag(v,-1);
El método de Jacobi Sistema de ecuaciones lineales
Ecuación de punto fijo
Iteración de Jacobi
Expresión matricialResolución con MATLAB U = triu(A,1); L = tril(A,-1); d = diag(A); x = (b-(L+U)*x)./d
Condición suficiente de convergencia Matriz estrictamente diagonalmente dominante: para i=1,2,…,n
Si A es estrictamente diagonalmente dominante, los iterados de Jacobi convergen a la solución del sistema partiendo de cualquier estimación inicial.
Iteración de Gauss-Seidel
Expresión matricialResolución con MATLAB d = diag(A); D = diag(d); U = triu(A,1); L = tril(A,-1); x = (L + D)(b – U*x)
Método de sobrerrelajación xik zi xik+1 (Gp:) ik+1
Paso de sobrerrelajación
Expresión matricialResolución con MATLAB D = diag(diag(A)); c = w*b; C = (1-w)*D – w*U x = (wL + D)(c + C*x)
Condición suficiente de convergencia Matriz simétrica definida positiva: AT = A, xTAx > 0
Si A es simétrica definida positiva y 0