La ley de los grandes números

Puesto que el evento Z = z es la unión del par de eventos disjuntos: (X = k) e (Y = z – k), tendremos: Decimos que p3(x) es la convolución de p1(x) y p2(x): p3(x) = p1(x) * p2(x)

2 Convolución La convolución es una operación conmutativa y asociativa.

Visto lo visto, es "fácil" demostrar por inducción cómo será la suma de n variables aleatorias independientes: teniendo en cuenta que:

3 Veamos un ejemplo: Supongamos que lanzamos un dado dos veces. Sea el resultado del primer lanzamiento la variable aleatoria X1 y del segundo, la variable aleatoria X2 , ambas con la misma distribución de probabilidad que llamaremos m(x). Calculemos la función de distribución de probabilidad para S2 = X1 + X2. (….)

4 Si quisiéramos calcular S3 = X1 + X2 + X3 , tendríamos: (…) Este es el resultado gráfico para la suma S10 de 10 dados.

5 Y estos son los resultados gráficos para las sumas S20 y S30 de 20 y 30 dados, respectivamente.

Observemos que, a medida que aumenta el número de dados, tenemos una curva que se aproxima más y más a una campana de Gauss, a una normal.

Veremos por qué más adelante, cuando hablemos del teorema central del límite.

6 Suma de variables aleatorias continuas Si X e Y son dos variables aleatorias continuas e independientes con funciones densidad de probabilidad f(x) y g(x) respectivamente, la variable aleatoria Z = X + Y, tendrá como densidad de probabilidad la convolución de f y g:

7 Suma de dos variables aleatorias uniformes independientes Dos distribuciones uniformes U(0,1). Obtenemos la densidad de probabilidad de la suma de las dos variables por convolución de sus densidades.

8 Observa que, como X e Y varían entre 0 y 1, su suma Z variará entre 0 y 2.

9 Convolución de dos densidades de probabilidad uniformes U(0,1).

10 Suma de dos variables aleatorias exponenciales independientes Dos densidades de probabilidad exponenciales Exp(?). Obtenemos la densidad de probabilidad de la suma de las dos variables por convolución de sus densidades.