Reflexiones sobre las funciones reales periódicas y la existencia del periodo principal

Abstract

In this paper we expose a sufficient criterion to the existence about a principal period of a periodic function:

It is also shown that in certain condition there is a lower bound of the principal period. If a period is equal to this lower bound then this period is the principal period.

Introducción

Por recurrencia se puede demostrar que la suma de un número finito de períodos es un período.

Observación 0:

La contradicción obtenida demuestra que 0 no puede ser un punto de acumulación de M.

Teorema 1

Obviamente, en este caso M es el conjunto de los números racionales estrictamente positivos y en M no existe un elemento menor o igual que todos los otros. Por tanto la función d de no tiene período principal.

Lo mismo se puede afirmar de la función de Dirichlet, definida por:

Por tanto, 1 es el período principal de la función h.

A continuación se comprobará que en ciertas condiciones existen cotas inferiores del período principal. La existencia de una cota inferior del período principal facilitará averiguar si un período es principal.

Lema 2:

Lema 3:

Si m es el menor número natural cumpliendo la condición (8),

Si m es el menor número natural cumpliendo (8'),

, y así el lema queda demostrado.

Lema 4:

Teorema 2

Observación 2:

Teorema 3

En los otros casos posibles la demostración se hace de manera análoga.

Aplicación 1:

Teorema 4

Teorema 4":

Por ejemplo

Aplicación 2:

Para demostrar la desigualdad (19), hay que observar que:

Teorema 5

Luego, de

Las contradicciones obtenidas en los apartados a) y b) demuestran el teorema.

Teorema 6

Demostración: 1) Es evidente.

Pero, según (20), (22) y (23) son equivalentes a

Observación 3:

Teorema 7

Demostración: Obviamente,

Supongamos ahora que

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Si

Entonces, según el teorema 3,

Evidentemente,

Por otra parte, de

Teorema 8

Demostración:

Ejemplo 4:

Observación 4:

Ejemplo 5:

Ejemplo 6:

Bibliografía

N. Bourbaki, Eléments de Mathématique, Livre III, Topologie Général, Chapitre 7, (.1, 6.

Miron Nicolescu, Analiza matematica, I-III, Editura Technica, 1958, Bucarest.

Autor:

Aladar Peter Santha