Cómo resolver un modelo matemático de programación lineal utilizando el método gráfico
Enviado por José Luis Albornoz Salazar
Resolver con el MÈTODO GRÀFICO el siguiente modelo de Programaciòn Lineal : MAXIMIZAR Z = 900 X1 + 600 X2 Sujeto a las siguientes restricciones : X1 + X2 = 100 (1) X1 = 40 (2) X1 = 20 (3) X2 = 50 (4) Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
Refresque sus conocimientos en còmo graficar una recta conociendo su ecuaciòn Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
En Programaciòn Lineal el gràfico se limitarà al Primer Cuadrante (las variables o incògnitas solamente pueden tomar valores mayores o iguales a cero. CONDICIÒN DE NO NEGATIVIDAD) Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
X2 X1 VALORES POSITIVOS DE LAS DOS INCÒGNITAS Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
UTILICE UNA ESCALA APROPIADA Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1
El procedimiento consiste en estudiar las desigualdades una a una, sobre el mismo gràfico. Para lo cual tomo la desigualdad o inecuaciòn y la grafico como una recta. El plano quedarà dividido en dos partes; una que cumple con la desigualdad y la otra no. Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
Estudiemos la primera restricciòn : X1 + X2 = 100 Para hacerlo, grafico la recta : X1 + X2 = 100 Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
RECUERDE que para graficar una recta basta con calcular dos de sus puntos (par ordenado) y trazar una lìnea recta que pase por ellos. Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1 X1 + X2 = 100 Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
Para determinar cual lado cumple con la desigualdad escojo un punto cualquiera y lo introduzco en la inecuaciòn, si se cumple con ella, cumpliràn todos los que estèn de ese lado y viceversa. En el gràfico anterior puedo escoger el punto origen (0,0) y estudio la desigualdad: Para X1 = 0 y X2 = 0 Sustituyendo en X1 + X2 = 100 0 + 0 = 100 (cierto) Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
Como se cumpliò para el origen se cumplirà para todos los otros puntos que estàn a la izquierda y debajo de la recta X1 + X2 = 100 Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1 X1 + X2 = 100 Lado que cumple con la restricciòn (1) X1 + X2 = 100 Lado que NO cumple con la restricciòn (1) X1 + X2 = 100 Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
El procedimiento recomendado consiste en “sombrear” el lado factible (que cumple con la desigualdad) y a medida que vayamos estudiando nuevas rectas “borramos” el àrea sombreada anteriormente que no cumpla con esta nueva restricciòn. Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1 X1 + X2 = 100 Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
Estudiemos la segunda restricciòn : X1 = 40 Para hacerlo, grafico la recta : X1 = 40 Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1 X1 = 40 Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
Los valores de X1 menores a 40 se encuentran a la izquierda de esta recta. Condiciòn que me obliga a “borrar” los puntos que estan a la derecha (no cumplen con X1 = 40) RECUERDE que la zona factible de soluciòn estarà conformada por los puntos que cumplan con TODAS las restricciones. Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1 X1 = 40 Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1 X1 = 40 Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
Estudiemos la tercera restricciòn : X1 = 20 Para hacerlo, grafico la recta : X1 = 20 Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1 X1 = 20 Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
Los valores de X1 mayores a 20 se encuentran a la derecha de esta recta. Condiciòn que me obliga a “borrar” los puntos que estan a la izquierda (no cumplen con X1 = 20) RECUERDE que la zona factible de soluciòn estarà conformada por los puntos que cumplan con TODAS las restricciones.
100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1 X1 = 20
NOTE que a medida que se van analizando las restricciones el ESPACIO o ZONA FACTIBLE DE SOLUCIÒN (àrea punteada) se hace menor. JAMÀS crecerà. Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1 Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
Estudiemos la cuarta restricciòn : X2 = 50 Para hacerlo, grafico la recta : X2 = 50 Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1 X2 = 50 Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
Los valores de X2 mayores a 50 se encuentran por encima de esta recta. Condiciòn que me obliga a “borrar” los puntos que estan por debajo (no cumplen con X2 = 50) RECUERDE que la zona factible de soluciòn estarà conformada por los puntos que cumplan con TODAS las restricciones. Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1 X2 = 50 Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
Analizadas, como han sido, todas las restricciones; el àrea punteada resultante representa la ZONA FACTIBLE DE SOLUCIÒN. Es en esta, y ùnicamente en esta zona, donde se encuentran los puntos que cumplen con TODAS las restricciones del Modelo Matemàtico. Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1 Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
En un “punto de esquina” de esta àrea sombreada : Se encuentra el “punto òptimo de soluciòn”, es decir, el punto que contiene el valor de X1 y X2 que cumpliendo con todas las restricciones permitirà obtener el màximo o mìnimo valor de Z ( Zmax ò Zmin, segùn sea el caso de estudio). Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
Para determinar este “punto de esquina” se utiliza un procedimiento de ensayo y error que consiste en darle valores arbitrarios a la funciòn objetivo (Z) e ir graficàndola. Esta recta graficada es paralela a la que generarà la “funciòn objetivo òptima”. En el caso de maximizaciòn, la recta Zmax serà la que estè màs alejada del origen y pasarà por un punto de esquina de la regiòn sombreada. En el caso de minimizaciòn, serà la recta que estè màs cerca del origen y pasarà tambièn por un punto de esquina de la ya mencionada zona punteada. Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
Antes de seguir el procedimiento es bueno aclarar que los valores que arbitrariamente se le asignen a Z no representan ningùn dato importante en la soluciòn del problema. Son valores arbitrarios que ùnicamente nos ayudan a visualizar la pendiente de la recta generada por la funciòn objetivo òptima. Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1 Volviendo a nuestro caso. Le asigno a Z un valor de 36.000 y la grafico.
Le asigno a Z un valor de 36.000 porque se me ocurriò ese nùmero, por màs nada. Este valor no tiene ninguna importancia en la soluciòn del problema. Le podemos asignar cualquier valor. Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
100 80 60 40 20 10 30 50 70 90 X2 X1 36.000 = 900 X1 + 600 X2 Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
Sobre esta gràfica procedo a dibujar rectas paralelas a Z = 36.000 y visualizo el punto de esquina de la regiòn punteada que estè contenido en la recta paralela màs alejada del origen. Ingeniero JOSÈ LUÌS ALBORNOZ SALAZAR
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