1 Objetivos Definir el concepto de Funciones de red Definir la función de red en términos de polos y ceros. Elaborar diagramas de BODE (Magnitud y Fase), considerando los siguientes factores: términos constantes, polos y ceros en el origen y de orden "N", polos y ceros simples, polos y ceros cuadráticos de redes eléctricas. 5.1 Introducción 5.2 Análisis de respuesta de frecuencia variable. Funciones de la red. Polos y ceros. 5.3 Análisis de frecuencia compleja Respuesta utilizando el diagrama de Bode: Términos constantes, Polo o ceros en el origen de orden 'n' Polo o cero simple, Polos o ceros cuadráticos Contenido
2 Una red que contiene un capacitor y una bobina opera de manera diferente si se cambia la frecuencia. Esto se debe a que la impedancia de ambos elementos del circuito dependen de la frecuencia. Si la frecuencia de las fuentes de la red varía en algún rango, podemos esperar que también la red experimente variaciones en respuesta a esos cambios de frecuencia. 5.1 Introducción Un ejemplo concreto es un amplificador estereofónico. La señal de entrada contiene ondas de sonido con frecuencias que van de principio a fin; y, sin embargo, el amplificador debe ampliar cada componente de frecuencia exactamente en la misma proporción a fin de alcanzar una reproducción perfecta del sonido Esto no es una tarea trivial, y cuando Usted compra un muy buen amplificador, parte del precio refleja el diseño necesario para lograr una amplificación constante sobre la amplia gama de frecuencias.
3 Los dispositivos de comunicación modernos utilizan dispositivos llamados filtros para separar las señales eléctricas en base a su contenido en frecuencia. Por lo tanto, es importante describir las relaciones que dependen de la frecuencia, tanto la amplitud como la fase, entre la señal senoidal de entrada y la señal senoidal de salida. Nuestro estudio consistirá en examinar el funcionamiento de redes eléctricas cuando son excitadas por fuentes de frecuenta variable. Estos efectos son importantes en el análisis y diseño de redes reales como filtros, sintonizadores y amplificadores que tienen una extensa aplicación en sistemas de comunicación y control. La respuesta en frecuencia de un circuito es la relación dependiente de la frecuencia, tanto en magnitud como en fase, entre una entrada senoidal de estado estable y una señal de salida senoidal de estado estable.
4 La impedancia de la Resistencia es: ZR = R = R|0o, donde la magnitud y la fase son constantes e independientes de la frecuencia. La gráfica de magnitud y fase de la impedancia del Resistor en el dominio de la frecuencia se muestra en la Figura 1. 5.2 Análisis de la respuesta de frecuencia variable La impedancia de la Bobina es: ZL = j?L = ?L|90o, donde la fase es constante a 90º pero la magnitud es directamente proporcional a la frecuencia. La gráfica de magnitud y fase de la impedancia de la Bobina en el dominio de la frecuencia se muestra en la Figura 2.
5 La impedancia del Capacitor es: ZC = 1/j?C = (1/?C)|-90o, donde la fase es constante a -90º pero la magnitud es inversamente proporcional a la frecuencia. La gráfica de magnitud y fase de la impedancia del Capacitor en el dominio de la frecuencia se muestra en la Figura 3.
6 Ahora veamos el circuito RLC serie mostrado en la Figura 4, donde la impedancia equivalente es:
7 La Figura 5 muestra la magnitud y fase de esta impedancia en función de la frecuencia. Observe que a muy bajas frecuencia, el capacitor aparece como un circuito abierto y, por consiguiente la impedancia es muy grande en esta escala. A altas frecuencias el capacitor tiene un efecto muy pequeño y la impedancia es dominada por la bobina, cuya impedancia se sigue elevando con la frecuencia.
8 A medida que los circuitos se hacen más complicados, las ecuaciones se vuelven más molestas. En un intento por simplificarlas, hacemos la sustitución s=j? (Esta sustitución tiene un significado más importante). Con esta sustitución, la expresión para la impedancia Zeq se convierte en: Si revisamos los cuatros circuitos vistos hasta aquí, encontramos que en cada caso la impedancia es la razón de dos polinomios en s y es de la forma general Esta ecuación es válida para impedancias y también para todos los voltajes, las corrientes, las admitancias y las ganancias en la red. La única restricción es que los valores de todos los elementos de circuito (resistencias, capacitores, bobinas y fuentes dependientes) deben ser números reales.
9 Considere la red que se muestra en la Figura 6. Se desea determinar la variación del voltaje de salida como función de la frecuencia en la escala de 0 a 1KHz. Ejemplo Usando el divisor de voltaje, la salida puede expresarse como Solución
10 Utilizando los valores de los elementos, la ecuación se convierte en: En este punto podemos sustituir simplemente los diferentes valores de la frecuencia en la escala de interés en la ecuación, y determinar la magnitud y fase del voltaje de salida. Usando un gran número de esos puntos podemos hacer gráficas de la magnitud y fase del voltaje de salida como función de la frecuencia. Este efectivo pero tedioso método puede simplificarse bastante si se aplica un software (Pspice, Matlab, etc). Las gráficas que resultan de la magnitud y la fase se muestran en la Figura 7.
11 La función de red es designada generalmente como H(s), y define la razón de respuesta a la entrada. Como la función describe una reacción debida a una excitación en algún otro punto del circuito, las funciones de la red de estación también se llaman funciones de transferencia. Además, las funciones de transferencias no están limitadas a razones de voltaje. Lo mismo que en redes eléctricas, las entradas o salidas pueden ser voltajes o corrientes hay cuatro posibles de la red, como se enlista en la siguiente tabla. Funciones de la red
12 Ejemplo También hay funciones de puntos de entrada, que son impedancias o admitancias definidas en un solo par de terminales. Por ejemplo, la impedancia de entrada de una red es una función de entrada. Para el circuito mostrado en la Figura 8, determine la Transadmitancia [I2(s)/V1(s)] y la ganancia de voltaje.
13 Solución Haciendo LKV a la malla 1 se obtiene: Resolviendo las ecuaciones para I2(s) se obtiene: (R1+sL)I1(s) – sLI2(s) = V1(s) Haciendo LKV a la malla 2 se obtiene: -sLI1(s) + (R2+sL+1/sC)I2(s) = 0 V2(s) = I2(s)R2 Por lo tanto, la Transadmitancia es:
14 Y la ganancia de voltaje es: Polos y Ceros Como hemos indicado anteriormente, la función de red puede expresarse como la razón de los dos polinomios en s. Además notamos que como los valores de nuestros elementos de circuitos, o fuentes controladas, son números reales, los coeficientes de los dos polinomios serán reales. Por lo tanto, expresamos una función de red en la forma:
15 donde N(s) es el polinomio del numerador de orden m y D(s) es el polinomio del denominador de orden n. La ecuación anterior también puede escribirse en la forma siguiente: Donde Ko es una constante, z1, ?, zm son las raíces de N(s), y p1, ?, pn son las raíces de D(s). Observe que si s=z1, o z2, ?, zm, entonces H(s) se hace cero y de aquí z1, ?, zm se llaman ceros de la función de transferencia. De manera similar, si s=p1, o p2, ?, pn, entonces H(s) se hace infinito y, por consiguiente p1, ?, pm se llaman ceros polos de la función de transferencia. Los ceros o polos realmente son complejos. Sin embargo, si ellos son complejos deben presentarse en pares conjugados, ya que los coeficientes de los polinomios son reales
16 La representación de la función de la red especificada en términos de polos y ceros, es extremadamente importante y en general se emplea para representar cualquier sistema lineal invariante en el tiempo. La importancia de esta forma se deriva del hecho de que las propiedades dinámicas de un sistema pueden recogerse de un examen de los polos del sistema. 5.3 Análisis de frecuencia senoidal Aunque hay casos específicos en los que una red opera a sólo una frecuencia (por ejemplo, la red del sistema de potencia), en general estamos interesados en el comportamiento de una red como función de la frecuencia. En análisis senoidal de estado estable, la función de la red puede expresarse como: donde M(?)=|H(j?)| y ?(?) es la fase. Una gráfica de esas dos funciones, que se llaman comúnmente magnitud y característica de fase, despliega la forma en que la respuesta varía con la frecuencia de entrada ?.
17 Si las características de la red son trazadas en una escala semilogarítmica, es decir, una escala lineal para la ordenada y una escala logarítmica para la abscisa, se conocen como gráficas de Bode (llamadas así en recuerdo de Hendrik W. Bode). Respuesta de frecuencia usando una gráfica de Bode Esta gráfica es una herramienta poderosa en el análisis y diseño de sistemas dependientes de la frecuencia y de las redes, como filtros, sintonizadores y amplificadores. Al usar la gráfica, hacemos gráficas de 20log10M(?) contra log10(?) en vez de M(?) contra (?). La ventaja de esta técnica es que más que trazar las características punto por punto, podemos emplear aproximaciones en línea recta para obtener la característica de manera muy eficiente. La ordenada para la gráfica de la magnitud es el decibel (dB). Esta unidad fue empleada originalmente para medir la razón de potencias, es decir: número en dB =10log10(P2/P1)
18 Si las potencia son absorbidas por dos resistencias iguales, entonces El término “dB” ha llegado a ser tan popular que ahora se usa para razones de voltaje y corriente, como se ilustra en la ecuación anterior, haciendo caso omiso de la impedancia empleada en cada caso. En el caso senoidal en estado estable, H(j?) puede escribirse en general como:
19 Recuerde que s=j? y ?=1/?, entonces la ecuación anterior se puede escribir como: Observe que ambas ecuaciones contienen los siguientes factores típicos: 1. Un factor Ko>0 independiente de la frecuencia. 2. Polos o ceros en el origen de la forma j?, es decir, (j?)+N para ceros y (j?)-N para polos. 3. Polos o ceros de la forma (1+j??). 4. Polos o ceros cuadráticos de la forma 1 + 2?(j??) + (j??)2.
20 Tomando el logaritmo de la magnitud de la función H(j?) se obtiene: 20log10|H(j?)| = 20log10Ko ? 20Nlog10|j?| + 20log10|1+j??1| Observe que hemos usado el hecho de que el logaritmo del producto de dos o más términos es igual a la suma de los términos individuales, el logaritmo del cociente de dos términos es igual a la diferencia de los logaritmos individuales, y el hecho de que log10An = nlog10A. El ángulo de fase para H(j?) es: + 20log10|1+2?3(j??3)+(j??3)2| + ? – 20log10|1+j??a| – 20log10|1+2?b(j??b)+(j??b)2| – ? |H(j?) = 0 ? N(90º) +tan-1??1
21 Examinemos algunos de los términos individuales e ilustremos una manera eficiente de graficarlos en un diagrama de Bode. El diagrama de magnitud es una línea horizontal puesta a: 0 dB si |Ko| = 1 bajo de 0 dB si |Ko| < 1 arriba del 0 dB si |Ko| > 1 Funciones con frecuencia invariante (Termino constante) H(s) = Ko, entonces |H(s)|dB = 20log10Ko
22 El diagrama de fase es una línea horizontal puesta a: 0o si Ko es positiva -180º si Ko es negativa
23 El diagrama de magnitud es una línea con pendiente de +20 dB/década sobre todo el rango de frecuencias, para el caso de un cero. Si ?/?o = 1, la curva pasa por 0 dB. Funciones con raíces en el origen (polos o ceros en el origen) H(s) = (s/?o)?1, el signo + si la raíz es un cero y el signo – si la raíz es un polo |H(s)|dB = ?20log10(?/?o)
24 El diagrama de magnitud es una línea con pendiente de -20 dB/década sobre todo el rango de frecuencias, para el caso de un polo. ?20 dB/dec = ?6 dB/oct
25 El diagrama de fase es una línea horizontal a +90º sobre todo el rango de frecuencias, para el caso de un cero.
26 El diagrama de fase es una línea horizontal a -90º sobre todo el rango de frecuencias, para el caso de un polo.
27 El diagrama de magnitud tiene dos asíntotas, una de baja frecuencia (a.b.f) y una de alta frecuencia (a.a.f). a.b.f |H(s)|=0 para ?/?o ? 1 a.a.f |H(s)|=?20log10(?/?o) para ?/?o ? 1 Funciones de raíces reales negativas (polo o cero simple) H(s) = (s/?o+1)?1, el signo + si la raíz es un cero y el signo – si la raíz es un polo |H(s)|dB = ?20log10[1+(?/?o)2] para ?/?o = 1 |H(s)|dB=?3dB
28 El diagrama de magnitud tiene dos asíntotas, una de baja frecuencia (a.b.f) y una de alta frecuencia (a.a.f). a.b.f |H(s)|=0 para ?/?o ? 1 a.a.f |H(s)|=?20log10(?/?o) para ?/?o ? 1 para ?/?o = 1 |H(s)|dB=?3dB
29 El diagrama de fase tiene dos asíntotas, una de baja frecuencia (a.b.f) y una de alta frecuencia (a.a.f). a.b.f ?H(s)=0o para ?/?o ? 0.1 a.a.f ?H(s)=?90º para ?/?o ? 10. Para 0.1 ? ?/?o ? 10 existen pendientes de ?45º para ?/?o = 1 ?H(s) =?45º para ?/?o = 0.1 y ?/?o = 10 la fase tiene desviaciones de cerca 6º.
30 El diagrama de fase tiene dos asíntotas, una de baja frecuencia (a.b.f) y una de alta frecuencia (a.a.f). a.b.f ?H(s)=0o para ?/?o ? 0.1 a.a.f ?H(s)=?90º para ?/?o ? 10. Para 0.1 ? ?/?o ? 10 existen pendientes de ?45º para ?/?o = 1 ?H(s) =?45º para ?/?o = 0.1 y ?/?o = 10 la fase tiene desviaciones de cerca 6º.
31 El diagrama de magnitud tiene dos asíntotas, una de baja frecuencia (a.b.f) y una de alta frecuencia (a.a.f). a.b.f |H(s)|=0 para ?/?o ? 1 a.a.f |H(s)|=?40log10(?/?o) para ?/?o ? 1 Funciones con pares de raíces complejas (polos o ceros cuadráticos) H(s) = [(s/?o)2+2?(s/?o)+1]?1, el signo + si la raíz es un cero y el signo – si la raíz es un polo |H(s)|dB = ?10log10{[1+(?/?o)2]2+[2?(?/?o)]2} H(j?) = [1-(?/?o)2+2?j(?/?o)]?1
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34 El diagrama de fase tiene dos asíntotas, una de baja frecuencia (a.b.f) y una de alta frecuencia (a.a.f). a.b.f ?H(s)=0o para ?/?o ? 0.1 a.a.f ?H(s)=?180º para ?/?o ? 10. Para 0.1 ? ?/?o ? 10 existen pendientes de ?90º
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36 Las aproximaciones en línea rectas (asíntotas), para este caso son satisfactorias para ? cerca 1/?2, pero para pequeños valores de ? debemos aplicar correcciones para reflejar la presencia de un pico. Estas correcciones son hechas en los siguientes puntos significantes. 1) a la frecuencia de corte, es decir, ?/?o = 1, entonces |H(s)|dB = ?20log102? 2) a la frecuencia donde se da el pico, ?/?o = ?(1-?2), entonces |H(s)|dB = ?10log10[4?2(1-?2)] 3) una octava debajo de la frecuencia de corte, es decir ?/?o = 1/2, entonces |H(s)|dB = ?10log10(?2+0.752) 4) a la frecuencia a la cual la curva de magnitud cruza el eje de 0 dB, ?/?o = ?[2(1-2?2)] 5) a la fase, una octava debajo de la frecuencia de corte, es decir, ?/?o = 1/2, entonces ?H(s) = ?tan-1(?/0.75)
37 6) a la fase, una octava arriba de la frecuencia de corte, es decir, ?/?o = 2, entonces ?H(s) = ?[180-tan-1(?/0.75)] En las siguientes Figuras se muestran los puntos de las correcciones que se deben hacer
38 Como estamos usando una hoja milimetrada, es necesario introducir la definición de intervalo de década o llamado también ciclo. Dado un valor de frecuencia específica dentro del ciclo 10n ? ? ? 10n+1 rad/s, su localización “l” dentro del ciclo es: Múltiples raíces Si una raíz o una pareja de raíces complejas tienen multiplicidad r, entonces el término correspondiente tiene la forma Hr. Así tenemos: |Hr(j?)|dB = r*|H(j?)|dB ?Hr(j?) = r*?H(j?)
39 Localizar 320 rad/s, y 2000 rad/s Ejemplo Solución 102 rad/s ? 320 rad/s ? 103 rad/s, entonces: 103 rad/s ? 2000 rad/s ? 104 rad/s, entonces: