El caso del Aro que avanza y luego retrocede
Objetivo primero: Analizar el comportamiento de un Aro al que se lo lanza hacia adelante, a la altura del suelo áspero con cierta velocidad tanto de avance como de rotación y, luego de avanzar un cierto tiempo, el Aro en cuestión emprende el camino hacia el punto desde donde partió.
Objetivo principal: Determinar cual será el sentido de rotación delAro en el momento en el que emprende su camino de retorno, para saber si invierte el sentido de giro respecto al inicial.
Primera etapa: Ida Vcmo Vcm=0 wo to t1 ts zona de avance de izquierda a derecha
Gráfica representativa del movimiento que realiza el Aro desde el momento inicial to (con velocidad de centro de masa conocida y velocidad angular inicial conocida) hasta la posición en la que detiene el avance*, y pasa Además por un punto intermedio en el instante t1 que es un valor temporal inmediato anterior al instante ts , el valor temporal ts representa el tiempo en donde la velocidad del centro de masa es nula pero no podemos decir nada aún acerca de la rotación.
Segunda etapa: Retorno t2 ts desplazamiento desde derecha a izquierda
* La suposición de que el Aro se detiene en un instante es válida y fácilmente demostrable,el extremo de la función “Vcm—vs—X(t)”tiene que pasar por “cero” cuando la posición alcanza el máximo; pero en esta ocación no se demostrara, simplemente se da por aceptada. Froz.din ¿ ? Wts>0 Vcm=0
Desde el punto de vista energético, un objeto sólido circular (Aro) que se mueve de izquierda a derecha con Wo ? 0 y Vcmo ? 0 posee una Krot. + Ktra. E = Krot + Ktra = ½ I.W2+ ½ m.Vcm2 Si el sólido no avanza pero gira, posee energía Estudio de la primera etapa: Ida Vamos a intentar conocer el sentido de rotación en t1 , suponiendo todas las alternativas ya que así podremos saber en que condiciones de movimiento rotacional llegará el Aro a la posición X(ts). Sabemos por enunciado que al Aro inicialmente se le dió sentido antihorario de giro, y para ser coherentes con la regla de la mano derecha, su signo es positivo, entonces “W>0”
En el instante t1podríamos tener tres posibilidades para W cuando vale 0, >0, 0 y produce una tendencia a girar con W>0, por su parte la Froz.din continúa llevando el Aro hacia la derecha, todo esto se opone a la condición que se detiene en ts 3 Por ello, la opción “Si W(t1) < 0” no es válida Vcm
Si W(t1) > 0 Froz.din. ts Es oportuno considerar ahora ts: -Froz = m.acm= -µ.m.g = macm donde acm= -µ . g Además Vcm(t) = Vcmo + acm . t despejando t se tiene ts= Vcmo /µd.g depende de condiciones iniciales Vale pues en t1 la condición que W(t1) > 0 recordamos que tanto a como acmson negativos e indican tendencia al giro horario y al retroceso respectivamente. Ahora llegado el Aro a un punto en el instante ts, se tiene Vcm=0 ; y lo que sabemos es que en un instante inmediato anterior se tiene ( W(t1) > 0) , entonces al llegar a ts podría presentar W(t1) = 0 : Si vale 0, entonces el Aro se habrá quedado sin energía pues sus velocidades de rotación y traslación valen cero, y no se cumple la condición del enunciado que el Aro retorna. Con todo esto se observa que en ts W(t1) > 0 , o sea tiene Vcm=0 y sentido de giro antihorario, es decir, igual sentido al inicial. El planteo ahora es sencillo, pues se puede imaginar un nuevo problema en el que un Aro con W>0 se suelta sobre un superficie rugosa y nos piden hacia donde se moverá ¿izquierda o derecha? Como las condiciones son: ¿ ? tf t2 ts desplazamiento desde derecha a izquierda si el Aro retorna a manos de quien lo lanzó, entonces desde t2 hasta tf podrá darse la condición de rodadura y con ello garantizar el retorno a las manos. W
Vcm
t1 Del mismo modo: t = r x Fr = – r . Fr = I . a 2
donde a < 0 , luego w =Wo+ a . t y por tanto el término “a.t” debe ser < Wo, y “w” es aún > 0, también acm < 0 y la velocidad del centro de masa es > 0 es coherente pues indica que tanto vel. angular como de traslación tienden a hacer cero sus valores . 0 Wts>0 Vcm=0 Este será el sentido
W Graficamente es equivalente a definir el enunciado en la siguiente forma:
Con los datos recogidos en el desarrollo, se elaboró un gráfico comparativo. El siguiente es un gráfico que representa por un lado la velocidad del centro de masa respecto al tiempo, y por otra parte la velocidad angular del Aro. En ambos se muestra el valor de tiempo crítico, en el cual cambian los sentidos de movimientos. Para el caso en que los movimientos alcanzan este valor temporal simultaneamente, el Aro se detiene por no poseer energía cinética.
Como nos interesa saber que pasa con la rotación cuando el Aro retorna, nos fijamos en la situación en la que el cambio de sentido de traslación (ocurre antes de tc) y se observa que la rotación se ajusta al sector de signo positivo, lo que indica según nuestra convención prefijada de signos una rotación antihoraria, que es igual al sentido rotacional inicial.
Vcm
Esta es la condición que corresponde con elenunciado tc Zona W positivo =>w=antihorario Antes de t crítico en t crítico Después de t crítico Notar que si ambas semirectas alcanzan el tiempo crítico “tc”, el Aro no posee energía y se detiene. Antes de “tc” el Aro retorna con velocidad angular positiva, es decir antihorario, manteniendo el sentido inicial. t
Zona W negativo => w = horario t
Conclusiones
Habiendose realizado un análisi
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