(y) (y) 2.- Cálculo de Inercia: 3.- Cálculo de las Tensiones Normales Máximas:
Determinaremos las tensiones normales al centro de la luz de la viga, que es la sección donde ocurre el Momento Flector Máximo. 3.3.- Flexión Compuesta
? La Flexión Compuesta ocurre, como ya se señalo, cuando adicionalmente al Momento Flector existe un Esfuerzo Normal actuante en la Sección. ? Para calcular la distribución de Tensiones Normales debido a la Flexión Compuesta, utilizaremos el Principio de Superposición. 1 36 Iz bh3 15000 cm4 y2dA A x 41,67y y 6,25×105 15000 y M z(x) Iz x máx C máx x(y 10) 416,67 kg/cm2 (y 20) 833,33 kg/cm 2 T 2 ? ? ? CompresiónPura x 1 ? ? ? Flexión Pura x x (y)
Para Flexión Pura: Nota:
El Eje Neutro no coincide con el Centroide y las distancias se toman desde el Centro de Gravedad. La distancia “d” se puede obtener haciendo sx = 0
3.3.1.- Ecuaciones de Equilibrio Observación:
El Eje Neutro no coincide con el Centro de Gravedad de la sección, puesto que: M z 1 (y) y x Iz
Para Carga Axial Pura: N A (y) 2 x (8) x y N A (y) M z Iz 0 Fx i) Fx A x dA dFx N Fx A x dA y ydFx M z Mz 0 ii) 0 dA N A
Veamos que ocurre si la fuerza “N” es de Tracción y el Momento Flector “Mz” es Negativo (como vector en la dirección positiva del eje “z”). x
Ejemplo:
? Una viga con un extremo empotrado y el otro en voladizo de luz 5,0 m. se encuentra solicitada por una carga puntal excéntrica 50 ton. Si la sección de la viga es un perfil “I” de alas iguales de 30x60x15 cms., tal como lo muestra la figura adjunta. Se pide determinar las Máximas Tensiones Normales que se desarrollan en la viga y el lugar donde ocurren. Indicación: El plano de carga coincide con el eje de Simetría de la sección. Solución:
? La carga “P” al estar excéntrica me genera un Momento Flector c/r al eje “z”, al desplazar la carga al centroide (Resultante de un Sistema de Fuerzas Coplanares) ? La sección es Simétrica, entonces el eje “y” es Principal y el Plano de carga coincide con el eje Principal, por lo que la Componente de la Flexión es Simple.
La Distribución de Tensiones Normales viene dada por: Las Propiedades de la Sección son: Reemplazando los datos en la ecuación (*): x y N A (y) M z Iz (*) x y P A (y) Pe Iz 506.250 cm4 A 1.350 cm2 e 15cm Iz 37,03 1,48y (y) x
Tensiones Normales Máximas en las Fibras Extremas: Lo que se desplaza el Eje Neutro se obtiene de: 3.4.- Flexión Desviada
? La Flexión Desviada ocurre si la deformada de la viga no está contenida en uno de los planos principales de la sección. ? A continuación recordaremos los conceptos de Ejes Principales de Inercia de una Sección.
3.4.1.- Ejes Principales de una Sección:
Momentos de Inercia c/r a los Ejes Z-Y: 30) 81,43 kg/cm2 máx máx (y (y 30) 7,41 kg/cm2 x C x T x (y) 0 x y 25,02 cm 37,03 1,48y 0 (y) A A A yzdA z2dA y2dA Iyz Iy Iz
??????? Momentos de Inercia c/r a los Ejes u-v: Rotación de Ejes: En forma Matricial: ? Al hacer variar el ángulo a, las magnitudes de Iu, Iv e Iuv también varían.
? Las ecuaciones (9), (10) y (11), son las Ecuaciones de Transformación de Momentos de Inercia y corresponden a ecuaciones paramétricas, cuyo parámetro es el ángulo a.
? El máximo Momento de Inercia se obtiene derivando la ecuación (9) con respecto al parámetro e igualando a cero. A A A uvdA u2dA v2dA Iuv Iv Iu ysen ycos zcos zsen u v y z sen v u R
Reemplazando en el valor de los Momentos de Inercias de los ejes rotados sen cos cos A A A 2zysen cos ( zsen y2 cos2 )dA (z2sen2 ycos )2dA v2dA Iu (9)
(10) I yzsen2
I yzsen2 Iz cos2
Izsen2 I ysen2
I y cos2 Iu
Iv (11) 2 I yz cos2 sen2 I y Iz Iuv
El máximo ocurre cuando: ? El subíndice “p” indica que el ángulo a define la orientación de los planos principales.
? Para el ángulo ap obtenido de la ecuación (12), las expresiones de Iu e Iv alcanzan valores extremos.
? Al igual que las tensiones y las deformaciones, las Ecuaciones de transformación de Momentos de Inercias pueden ser representadas en un Círculo de Mohr de Inercias.
Condición para Ejes Principales de Inercia 3.4.2.- Flexión Desviada (u,v) ejes Principales de Inercia
Observaciones:
1. Si un Eje es de Simetría en la sección, entonces el eje es principal, puesto que la simetría indica necesariamente que el eje es centroidal.
2. Si el plano de carga es de simetría, entonces la Flexión es Simple.
3. La condición anterior es suficiente pero no necesaria, en efecto, el plano de carga puede no ser de simetría y la flexión es simple, puesto que sin eje es principal no necesariamente es por ser de simetría. 0 Iz)sen(2 ) 2I yz cos(2 ) (I y dIu d (12) ) p 2I yz (I y Iz) tg(2 Máximo Mínimo esnulo Iu Iv Iuv
? En este caso, el Plano de Carga no es de Simetría, pero pasa por un Eje Principal de Inercia, por lo que la Flexión es Simple.
3.4.2.1- Análisis General de la Flexión Desviada ? Se determina el Momento Flector que genera la solicitación. El Plano donde actúa el Momento Flector es “Perpendicular” al Plano de las Solicitaciones.
? Para determinar el Momento Flector que actúa en los Ejes Principales de Inercia, existen dos alternativas: i. Proyectar el Momento Flector (M) a los Ejes “Z” e “Y” y determinar los Momentos Flectores “Mz” y “My”. A continuación, a través de la Matriz de Rotación para el estado Plano, proyectar los Momentos “Mz” y “My” a los Ejes “u” y v” y determinar los momentos “Mu” y “Mv”. ii. Proyectar el Momento Flector (M) a los Ejes “u” e “v” y determinar los Momentos Flectores “Mu” y “Mv”.
? Se calculan la distribución de las Tensiones Normales como: Flexión Biaxial M z sena Mv Mu sena cosa M y cosa (13) x u v (u,v) Mv Iv Mu Iu
3.4.2.2- Ecuación General de la Flexión ? Para determinar la distribución de las Tensiones Normales en la sección, se realiza de la misma manera que para la Flexión Biaxial, con la salvedad que se le adiciona la componente del Esfuerzo Axial (P), el que debe estar ubicado en el Centroide de la Sección. Flexión Biaxial Compuesta Ejemplo:
? Una viga con un extremo empotrado y el otro en voladizo de luz 20,0 m. se encuentra solicitada por una carga puntal excéntrica de 5 ton y una carga uniformemente distribuida de 15 kg/m. Si la sección de la viga es un perfil “Z” de alas desiguales, tal como lo muestra la figura adjunta. Se pide determinar las Máximas Tensiones Normales que se desarrollan en la viga y el lugar donde ocurren. Indicación: El plano de carga distribuida coincide con el eje “y” de la sección. Solución:
? La carga “P” al estar excéntrica me genera Momentos Flectores c/r a los eje “z” e “y”, al desplazar la carga al Centroide.
? La carga uniformemente distribuida me genera un Momento Flector c/r al eje “z”. (14) x u v N A (u,v) Mv Iv Mu Iu
? Los Ejes “z” e “y” no son Ejes Principales de Inercia, entonces se desarrolla Flexión Desviada. La Distribución de Tensiones Normales viene dada por: 1.- Cálculo de Centroides: 2.- Cálculo de Inercias: 2.1- Inercias Principales: zi 10 17,5 20 yi 2,5 17,5 32,5 Elemento 1 2 3 = Ai 100 125 50 275 Ai*zi 1000 2187,5 1000 4187,5 Ai*yi 250 2187,5 1625 4062,5 Ai*zi*yi 2500 38281,25 32500 73281,25 Base Altura Área Elemento 1 2 3 bi 20 5 10 hi 5 25 5 Ai 100 125 50 zi 10 17,5 20 yi 2,5 17,5 32,5 Izi 15270,317 7440,169 15816,977 Iyi 6065,771 906,078 1555,613 Iziyi -19994,835 10162,707 21252,583 = 38527,462 8527,462 11420,455 Centroides Inercias Centroidales u v N A Mv Iv Mu Iu (u,v) x 14,773 cm i i A yi A y 15,227 cm i i A zi A z 3 3
i 1 i 3
i 1 Iz (y yi)2 A bihi 12 Izi 3 3
i 1 i 3
i 1 Iy (z zi)2A hibi 12 I y i 3 3 i 1 i i 1 Iyz zy) A (zi yi I y zi i 0,761 ) p 2I yz (I y Iz) tg(2 18,642 Iysen2( 18,642 ) Iz cos2( 18,642 ) Iyzsen2( 18,642 ) Iu 42.380,23 cm4 Iu 47.054,90 cm4 Iz Iy Iv Iu 0 Iuv 2 sen2( 18,624 ) I yz cos2( 18,624 ) I y Iz Iuv 4.674,69 cm4 Iv
3.- Cálculo de Momento Flector Máximo debido a la carga “q”: 4.- Proyección de Momentos Flectores a los Ejes Principales:
Determinemos los Momentos Flectores en los Ejes “z” e “y” A través de la Matriz de Rotación determinemos Mu y Mv. Nota: Si utilizamos descomposición de vectores, utilizaremos a en Valor Absoluto. Si lo hacemos con la matriz de rotación lo haremos con signo. Para determinar las Tensiones Normales Máximas, es complicado utilizar la ecuación anterior en el sistema “u-v”, por lo que nos devolvemos al sistema “z-y” a través de: Tramo AB 0 x ? 20,0 m. 2 0,0075x qx2 2 Mqz(x) Mmáx q?2 2 x ? Mqz(x ?) 3,00 ton-m Mmáx 2,261 ton -m Py Mz M pz Mq q?2 2 Pz 0,761 ton-m My M py Mv Mu sen( 18,642 ) cos( 18,642 ) M y sen( 18,642 ) M z cos( 18,642 ) 1,444 ton -m 1,899 ton -m Mv Mu u v N A Mv Iv Mu Iu (u,v) x u v N A Mv Iv Mu Iu (u,v) x 18,18 4,481v 30,890u (u,v) x v u sen( 18,642 ) cos( 18,642 ) y sen( 18,642 ) z cos( 18,642 ) 18,18 27,837z 14,12y (z,y) x
5.- Cálculo del Eje Neutro: 6.- Tensiones Normales Máximas: Máxima Tracción en el Punto A Máxima Compresión en el Punto B x 18,18 27,837z 14,12y 0 (z,y) y 1,971(z-0,653 ) Ec.Eje Neutro 63,104 b -1,288 cm (intersección eje ordenado) m 1,972 tg A 323,16 kg/cm 2 y 4,77 cm 14,77 cm z B 310,23 kg/cm 2 0,23 cm 20,23 cm z y
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