Función de tensión senoidal v(t) = Vm sen wt Vm – amplitud de la onda wt – argumento La función se repite cada 2p radianes y por lo tanto el periodo (T) de la senoidal es de 2p radianes. La frecuencia es f = 1/T, así que wT = 2p w = 2pf
Grafica de la función seno Función senoidal en función de wt. Código en Matlab >> fplot('sin',[-pi/2 2*pi+0.1 -1.5 1.5])
Función senoidal en función de t.
Retraso y adelanto Forma general de la senoide v(t) = Vm sen (wt + q) q – ángulo de fase. Código en Matlab %archivo v.m function y = v(t,Vm,w,theta) y = Vm*sin(w*t+theta); >> fplot('v',[-pi/2 2*pi+0.1 -1 1],[],[],'-r',0.5,1,0) >> fplot('v',[-pi/2 2*pi+0.1 -1 1],[],[],'-b',0.5,1,pi/4)
Se dice que v(t) = Vm sen (wt + q) adelanta a v(t) = Vm sen (wt) en q radianes. Las señales se encuentran fuera de fase.
Conversión de senos a cosenos Se cumple que Vm sen wt = Vm cos(wt – 90°) En general – sen wt = sen(wt ? 180°) – cos wt = cos(wt ? 180°) sen wt = cos(wt ? 90°) ? cos wt = sen(wt ? 90°)
Ejemplo Determinar el ángulo mediante el cual i1 está retrasada respecto a v1, si v1 = 120 cos(120pt – 40°) e i1 es igual a 1.4 sen(120pt – 70°) 1.4 sen(120pt – 70°) = 1.4 cos(120pt – 70° – 90°) = 1.4 cos(120pt – 160°) la diferencia de fases es 120pt – 40° – 120pt + 160° = 120° por tanto el retraso es de 120°.
Tarea 5 Determinar el ángulo mediante el cual i1 está retrasada respecto a v1, si v1 = 120 cos(120pt – 40°) e i1 es igual a: a) 2.5 cos(120pt + 20°) b) –0.8 cos(120pt – 110°) En general – sen wt = sen(wt ? 180°) – cos wt = cos(wt ? 180°) sen wt = cos(wt ? 90°) ? cos wt = sen(wt ? 90°)
Respuesta forzada a funciones senoidales Se utilizan los términos respuesta forzada o respuesta a estado permanente. Considere el circuito serie RL con una fuente senoidal v(t) = Vm cos wt. Aplicando LKV VL + VR = v(t) VL VR – – + +
Respuesta forzada a funciones senoidales Se debe cumplir con la ecuación diferencial La corriente debe ser senoidal, en general puede ser de la forma: i(t) = I1cos wt + I2 sen wt Sustituyendo se obtiene L(– I1wsen wt + I2wcos wt) +R(I1cos wt + I2sen wt) = Vmcos wt
Respuesta forzada a funciones senoidales Agrupando términos con seno y con coseno, se obtiene (–LI1 w + RI2)sen wt + (LI2w + R I1 –Vm) cos wt = 0 esto debe cumplirse para todo t, por lo tanto los coeficientes del seno y del coseno deben ser cero. Es decir: –LI1 w + RI2 = 0 y LI2w + R I1 –Vm = 0 despejando I1 e I2 se obtiene La respuesta forzada se escribe como:
Respuesta forzada a funciones senoidales Suponiendo una respuesta de la forma i(t) = A cos (wt – q) Procedemos a determinar A y q, desarrollando el coseno de la resta de ángulos de aquí encontramos que dividiendo
Respuesta forzada a funciones senoidales elevando al cuadrado las anteriores y sumando En consecuencia
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