Los conceptos de controlabilidad y observabilidad presentados primero por Kalman juegan un papel importante en los aspectos teórico y práctico, del control moderno. Las condiciones sobre controlabilidad y observabilidad gobiernan la existencia de una solución de un problema de control óptimo.
CONTROLABILIDAD DE SISTEMAS LINEALES
Consideremos al sistema en tiempo continuo:
….(2)
en donde
x = vector de estado (vector de orden n)
u = vector de control (de orden r)
A = matriz de orden n x n
B = matriz de orden n x r
Se dice que el sistema dado por la ecuación anterior es de estado controlable en t = t0 si es posible construir r señales de control sin restricción alguna que transfieran un estado inicial a cualquier otro estado finito en un intervalo de tiempo finito
Si todos los estados son controlables, se dice que el sistema es de estado completamente controlable.
El concepto de contabilidad se puede enunciar con referencia al diagrama de bloques de la fig. Se dice que el proceso es completamente controlable si cada variable de estado del proceso se puede controlar para llegar a un cierto objetivo en un tiempo finito, a través de algún control no restringido u(t).
Como un ejemplo sencillo de un sistema no contable, el diagrama ilustra el estado de un sistema lineal con dos variables de estado. Debido a que el control u(t) afecta solamente al estado x1(t) el estado x2(t) es no controlable. En otras palabras, sería imposible llevar a x2(t) de un estado inicial x2(t0) a un estado deseado x2(tf) en un intervalo de tiempo finito tf – to mediante el control u(t). Por tanto, se dice que el sistema no es completamente controlable.
Teorema 1
Para que el sistema descrito por la ecuación de estado de la ecuación (2) sea de estado completamente controlable, es necesario y suficiente que la siguiente matriz de controlabilidad de n x nr tenga rango n:
Ec.(3)
S = [B AB A2B … An-1B]
Ya que las matrices A y B están involucradas, algunas veces se dice que el par [A,B] es controlable, lo que implica que S es de rango n.
OBSERVABILIDAD DE SISTEMAS LINEALES
Esencialmente, un sistema es completamente observable si cada variable de estado del sistema afecta alguna de las salidas. En otras palabras, con frecuencia es deseable obtener información sobre las variables de estado de las mediciones de las salidas y las entradas. Si cualquiera de los estados no se puede observar a partir de las mediciones de las salidas, se dice que el estado es no observable, y el sistema no es completamente observable, o simplemente no observable.
La muestra el diagrama de estado de un sistema lineal en donde el estado x2 no está conectado en alguna forma a la salida y(t). Una vez que se ha medido y(t), se puede observar el estado x1(t), ya que x1(t) = y(t). Sin embargo, el estado x2 no puede ser observado de la información en y(t). Por lo que el sistema es no observable.
Teorema 2
Para que el sistema descrito por las ecuaciones (2) sea completamente observable, es necesario y suficiente que la siguiente matriz de observabilidad de n x np tenga un rango n:
Ec.(3)
La condición también se conoce como que el par [A,C] es observable. En particular, si el sistema tiene sólo una salida, C es una matriz reglón de 1 x n; V es una matriz cuadrada en n x n. Entonces el sistema es completamente observable si V es no singular.
Ejemplo 1:
Considerar al sistema siguiente
¿Es el sistema controlable y observable?
%%%%%%%EJEMPLO DE CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% x=AX+Bu
% y=Cx+Du
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% [X1 [0 1 -2 [x1 [0
% X2 = 0 -16 21 x2 + 2 u
| Página siguiente |