- Conjetura 2n + 2
- Enunciado de la conjetura 3n + 1
- Coeficientes Intercambiados de Collatz ó 2m(n + 3)
Aunque estos resultados no demuestran la conjetura de Collatz, esperamos que los mismos sirvan para acercarnos un poco más a la solución definitiva de la conjetura.
Conjetura 2n + 2
La conjetura 2n + 2, no es más que una variante de la muy conocida conjetura matemática de Collatz ó 3n + 1, como también es conocida. Para comprender la primera, debemos conocer el enunciado de la segunda.
Enunciado de la conjetura 3n + 1
Tomemos un número natural (n), y procedamos de la siguiente manera:
a) Si n es impar, multipliquémoslo por 3 y le sumamos 1 al resultado.
b) Si n es par, dividámoslo por 2.
Repetiremos este proceso con el guarismo obtenido, y así repetidamente.
Ej.:
n = 9
Como n es impar multiplicamos 9 por 3 y le sumamos 1.
3(9) + 1 = 28, este es el segundo término de la sucesión.
9, 28
Como 28 es par, lo dividimos entre 2 para generar el tercer término, y así sucesivamente repetimos el proceso hasta acabar en 1.
9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
No importa el número natural que elijamos, siempre y cuando sigamos estas simples reglas la serie terminará en uno, esto significa que a partir de dicho término se vuelve periódica.
Por medio de ordenadores, se ha comprobado que la conjetura es cierta para números menores o iguales a 258, pero eso no le da el estatus de teorema a la conjetura.
Como ya se habrán podido imaginar, la conjetura 2n + 2, cumple el mismo enunciado que la conjetura de Collatz (3n + 1), variando sólo en la función generadora que ahora es 2n + 2 (para n impares).
Ejemplo:
n = 9
Como n es impar, lo multiplicamos por 2 y le sumamos 2.
9, 20, 10, 5, 12, 6, 3, 8, 4, 2, 1.
Como podemos notar, el número de iteraciones es menor que en el ejemplo anterior.
Para n = 3721, tenemos:
3721, 7444, 3722, 1861, 3724, 1862, 931, 1864, 932, 466, 233, 468, 234,117, 236, 118, 59, 120, 60, 30, 15, 32, 16, 8, 4, 2, 1
Para n = 10, tenemos:
10, 5, 12, 6, 3, 8, 4, 2,1
Para n = 28, tenemos:
28, 14, 7, 16, 8, 4, 2, 1
A partir de las funciones f(n) = 3n + 1 o f(n) = 2n + 2, podemos obtener otras funciones que satisfacen las normas establecidas por Collatz, las que se cumplirán siempre y cuando la f(n) se multiplique por una potencia de dos, esto es:
2m f(n) / m > -2
Ejemplos:
Sea m = 1 y n = 3, con f(n) = 3n + 1
21 f(n) = 2(3n + 1) = 6n + 2
Aplicando las reglas de Collatz tenemos:
3, 20, 10, 5, 32, 16, 8, 4, 2, 1
Sea m = 1 y n = 3, con f(n) = 2n + 2
21 f(n) = 2(2n + 2) = 4n + 4
Aplicando las reglas de Collatz tenemos:
3, 16, 8, 4, 2, 1
Sea m = 2 y n = 3, con f(n) = 2n + 2
22 f(n) = 4(2n + 2) = 8n + 8
Aplicando las reglas de Collatz tenemos:
3, 32, 16, 8, 4, 2, 1
Sea m = 2 y n = 3, con f(n) = 3n + 1
22 f(n) = 4(3n + 1) = 12n + 4
Aplicando las reglas de Collatz tenemos:
3, 40, 20, 10, 5, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
Aplicando las reglas de Collatz a otras funciones se pueden obtener otros resultados interesantes, como la conjetura de tipo: 2n * k, tal que k es un elemento de los enteros positivos impares y n un número entero mayor que 0.
Siguiendo las mismas reglas que en las conjeturas anteriores, y sustituyendo únicamente la función generadora, por la funcione: 2n k, observamos que:
Si tomamos n = 1 y k = 5,
2k
5, 10, 5
Si tomamos n = 2, k = 5,
4k
5, 20, 10, 5
Si tomamos n = 3, k = 5,
8k
5, 40, 20, 10, 5
Si tomamos n = 4, k = 5,
16k
5, 80, 40, 20, 10, 5
Como podemos notar en este tipo de variante, siguiendo las reglas de collatz, el último término de la sucesión es igual al primero, lo que significa que a partir de este término la sucesión se hace cíclica. Otra cosa que se puede observar es que el número de términos aumenta conforme aumenta n en (n + 2), antes de que se haga cíclica.
Ejemplos:
Para n (1- 3), k = 576345
21 = 2
576345 – 1152620 – 576345
22 = 4
576345 – 2305380 – 1152690 – 576345
23 = 8
576345 – 4610760 – 2305380 – 1152620 – 576345
Nota:
El término conjetura está mal empleado para la variante de tipo 2n * k, ya que se puede demostrar de manera sencilla que lo dicho anteriormente se cumple para dicha función.
Coeficientes Intercambiados de Collatz ó 2m(n + 3)
El origen que da nombre a esta conjetura es muy fácil de comprender, sea 2m(3n + 1) una función que cumple con las normas establecidas por la conjetura de Collatz, si hacemos un intercambio entre el coeficiente numérico que acompaña a la variable n y el término independiente (1), la función se convierte en: 2m(n + 3), sus propiedades son las siguientes:
1) Sea n un número natural divisible por 3 y m un entero mayor que -1.
Si n es impar, le sumamos 3 y multiplicamos el resultado por 2m/ m > -1.
Si n es par, lo dividimos por 2.
No importa cuál sea el número (n), siempre que sea múltiplo de 3, la serie terminará en 3.
Ej.:
n = 3, m = 0
3 + 3 = 6
6/2 = 3
S{ 3, 6, 3}
n = 9, m = 0
9 + 1 = 10
10/2 = 5
5 + 1 = 6
6/2 = 3
S{ 9, 10, 5, 6, 3}
2) Sea n un número natural que no es divisible por 3 y m un entero mayor que -1.
Si n es impar, le sumamos 3 y multiplicamos el resultado por 2m/ m > -1.
Si n es par, lo dividimos por 2.
Siempre y cuando el número (n) no sea múltiplo de 3, la serie terminará en 1.
Ej.:
n = 5, m = 0
5
5 + 3 = 8
8/2 = 4
4/2 = 2
2/2 =1
S{5, 8, 4, 2,1}
n = 22, m = 0
22/2 = 11
11 + 3 = 14
14/2 = 7
7 + 3 = 10
10/2 = 5
5 + 3 = 8
8/2 = 4
4/2 = 2
2/2 = 1
S{22, 11, 14, 7, 10, 5, 8, 4, 2, 1}
Autor:
José Acevedo J.