Análisis de señales y de sistemas discretos en el dominio del tiempo Introducción Sistemas lineales discretos e invariantes con el tiempo. escripción de un sistema por medio de su ecuación de diferencias
1. Introducción Señales discretas en el tiempo.
x(n) es una función de una variable independiente que es un entero Estas señales no están definidas en los instantes entre dos muestras sucesivas x(n) = 0 si n no es entero Suele asumirse que – 8 < n < 8
Además de la representación gráfica existen otras alternativas: Representación funcional
Representación tabular
Representación secuencial x(n) = {… 0, 0, 1, 4, 1, 0, 0, …} para n = 1,3 para n = 2 de otra manera
Algunas señales discretas elementales. La secuencia muestra o impulso unitario d(n) La señal escalón unitario u(n) La señal rampa unitaria ur(n) La señal exponencial x(n) = an
Clasificación de las señales discretas. Señales de energía y de potencia Si la energía es finita se llama energía de la señal y si la potencia es finita ésta es la potencia de la señal
Señales periódicas y aperiódicas x(n) es periódica con periodo N sí y solo sí x(n + N) = x(n) para toda n (1) El menor valor de N que satisfaga (1) es el periodo fundamental Si no existe N que satisfaga (1) la señal es aperiódica. Señales simétricas (par) y antisimétricas (impar) x(n) = x(-n) Señal simétrica -x(n) = x(-n) Señal antisimétrica
Manipulaciones de señales discretas.
Transformación de la variable independiente t. Se sustituye n por n ± k y tenemos un desplazamiento según el signo de k (+ retraso, – adelanto)
Adición, multiplicación y escalamiento de secuencias y(n) = x1(n) + x2(n) y(n) = x1(n)*x2(n) y(n) = Ax(n) para toda n
Aquí la amplitud es la que se modifica
Sistemas discretos en el tiempo.
Es un dispositivo o algoritmo que opera sobre una señal discreta en el tiempo, llamada entrada o excitación, acorde a reglas bien definidas, para producir otra señal discreta en el tiempo llamada salida o respuesta del sistema.
La señal de entrada x(n) es transformada por el sistema en la señal y(n). Esta relación se expresa: y(n) =?[x(n)] donde el operador T denota la transformación o procesamiento efectuado a x(n)
Clasificación de sistemas digitales. Sistemas sin memoria ó estáticos. Cuando la salida de cualquier valor n depende solo de la entrada en el mismo valor n. y(n) = x(n)2 y(n) = ax(n) y(n) = nx(n) + bx3(n)
Sistemas con memoria ó dinámicos. Cuando la salida en un valor n depende de las entradas en el intervalo [n-N, n], N = 0, se dice que el sistema tiene memoria de duración N. Si N = 0 el sistema es estático; si 0 = N < 8, el sistema tiene memoria finita; si N < 8, tiene memoria infinita.
y(n) = x(n) + 3x(n-1) y(n) = ?x(n-k) ; k=0…n y(n) = ?x(n-k) ; k=0…8
Sistemas invariantes con el tiempo. Son aquellos sistemas para los que un desplazamiento temporal de la secuencia de entrada provoca el mismo desplazamiento en la secuencia de salida.Si para x1(n) = x(n – k) se produce y1(n) = y(n – k) Sistemas variantes con el tiempo. Aquellos donde la salida cumple con y1(n) ? y(n – k), incluso para un solo valor de k.
Determinar si los siguentes sistemas son invariantes:
y(n) = x(n) – x(n – 1) y(n) = nx(n) y(n) = x(-n) y(n) = x(n) cos ?n
Sistemas lineales. Definidos por el principio de superposición. Sean y1(n) e y2(n) las respuestas a las entradas x1(n) y x2(n), el sistema es lineal solo sí:
T[a1x1(n) + a2x2(n)] = a1T[x1(n)] + a2T[x2(n)] =a1 y1(n) + a2y2(n)donde a1 y a2 son constantes arbitrarias. Sistemas no lineales. Aquellos que no satisfacen el principio de superposición. Un sistema lineal en reposo, es aquel que a una entrada cero, produce una salida cero. Un sistema que produce una salida diferente de cero cuando la entrada es cero no está en reposo, o no es lineal.
Determinar si los siguientes sistemas son lineales:
y(n) = n x(n) y(n) = x(n2) y(n) = x2(n)y(n) = Ax(n) + B y(n) = ex(n)
Sistemas causales. Cuando para cualquier valor n0, el valor de la secuencia de salida en n = n0 depende solo de los valores de entrada para n = n0. Es decir, la salida depende de las entradas pasadas y presentes. Sistemas no causales. Aquellos que no cumplen las condiciones de causalidad.
y(n) = x(n) – x(n – 1) y(n) = ax(n) y(n) = ?x(k); k= -8 …ny(n) = x(n) + 3x(n + 4) y(n) = x(n2) y(n) = x(2n) y(n) = x(-n)
Sistemas estables. Un sistema es estable en el sentido de entrada acotada y salida acotada.La entrada x(n) está acotada si existe un valor finito positivo Bx tal que |x(n)| = Bx < 8, para todo n.La estabilidad requiere que para cualquier entrada acotada exista un valor finito positivo fijo By, tal que |y(n)| = By < 8, para todo n. Sistemas inestables. Aquellos que no cumplen con las condiciones de estabilidad.
2. Sistemas lineales discretos e invariantes con el tiempo (LTI). Los sistemas LTI son caracterizados en el dominio del tiempo por su respuesta al impulso unitario. Cualquier señal arbitraria se puede descomponer y representar como una suma ponderada de impulsos unitarios. Las propiedades de linealidad e invarianza en el tiempo hacen que la respuesta del sistema a cualquier señal de entrada se pueda expresar en términos de su respuesta al impulso unitario.
Técnicas para el análisis de sist. lineales.
Método basado en la solución directa de la ecuación de entrada-salida para el sistema.
Descomponiendo la señal de entrada en una suma de señales elementales. Las señales elementales se eligen de modo que la respuesta del sistema a cada componente de la señal se pueda determinar con facilidad. Debido a la linealidad del sistema, las respuestas se suman para tener la respuesta total.
{ck} es el conjunto de amplitudes o coeficientes ponderados {xk} es el conjunto de señales elementales yk(n) es la respuesta a la señal elemental xk(n) Asumiendo que el sistema está en reposo y que la respuesta a ckxk(n) es ckyk(n) por la propiedad de escalamiento, la respuesta total es: Nota: Un sistema está en reposo en un tiempo t0 si la señal de salida y(t) en el intervalo t0 = t está sola y unicamente determinada por la señal de entrada x(t) en el intervalo t0 = t para -8 < t0
Sea x(n) una señal arbitraria y xk(n) = d(n – k) k es el retardo del impulso unitario Multiplicando x(n) y d (n – k) tenemos x(n)d (n – k) = x(k)d (n – k) una secuencia de ceros excepto cuando n = k Repitiendo para -8 < k < 8 tenemos Representación de una señal discreta en impulsos unitarios
La respuesta de los sistemas LTI a entradas arbitrarias: La suma de convolución.
Sea h(n, k) la respuesta del sistema a un impulso unitario enel instante n = k, para -8 < k < 8. Esto es: y(n, k) = h(n, k) = T[d(n – k)] Si escalamos el impulso a la entrada por ck = x(k), esto es ck h(n, k) = x(k) h(n, k) Y si x(n) se expresa como
Tenemos finalmente que la respuesta del sistema a x(n) es
Si la respuesta del sistema LTI a d(n) se denota como h(n) Esto es: h(n) = T[d(n)] Por la propiedad de invarianza, la respuesta a d(n – k) es h(n – k) = T[d(n – k)] Entonces tenemos que:
La función de respuesta del sistema LTI se conoce como suma de convolución. La entrada x(n) es “convolucionada” por la respuesta al impulso h(n) para producir la salida y(n).
Análisis de la suma de convolución.
Deseamos calcular la salida del sistema para n = n0, entonces:
Observaciones: x(k) y h(n0-k) son funciones del índice k. x(k) y h(n0-k) se multiplican entre si para producir una secuencia de productos. y(n0) es la suma de los productos h(n0-k) se obtiene de h(k), reflejándola alrededor de k = 0, produciendo h(-k), y luego desplazando en n0.
La suma de convolución involucra cuatro pasos:
Reflejo. Se refleja h(k) alrededor de k = 0 para tener h(-k). Desplazamiento. Se desplaza h(-k) en n0 a la derecha (izquierda) si n0 es positivo (negativo) para obtener h(n0 – k). Multiplicación. Se multiplica x(k) por h(n0-k) para tener la secuencia de productos vn0(k) = x(k)h(n0-k). Suma. Se suman todos los valores de la secuencia de productos vn0(k) para obtener el valor de la salida en n = n0.
Si nos interesa evaluar la respuesta del sistema para todos los instantes de tiempo -8 < n < 8, repetimos los pasos del 2 al 4 para todos los posibles desplazamientos n.
Determina la salida y(n) de un sistema LTI con respuesta al impulso h(n) = anu(n), |a| < 1. Cuando la entrada es la secuencia escalón unitario x(n) = u(n)
Propiedades de la convolución.
Conmutativa. x(n)*h(n) = h(n)*x(n)
Asociativa. [x(n)*h1(n)]*h2(n) = x(n)*[h1(n)*h2(n)] h(n) x(n) y(n) x(n) h(n) y(n) h2(n) x(n) y(n) h(n)=h1(n)*h2(n) x(n) y(n) h1(n) h2(n) x(n) y(n) h1(n) h1(n) x(n) y(n) h2(n)
Determina la respuesta al impulso de la cascada de dos sistemas LTI con respuestas al impulso h1(n) = ½nu(n) y h2(n) = ¼nu(n)
Distributiva x(n)*[h1(n)+h2(n)] = x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)
h2(n) x(n) y(n) h(n)=h1(n)+h2(n) x(n) y(n) h1(n) +
Sistemas LTI causales Sistema causal es aquel que cuya salida en n depende solo de las entradas pasadas y presentes. Causal es una condición sobre la respuesta al impulso. Consideremos
Si subdividimos la suma tenemos:
Si el sistema es causal y n = n0 entonces h(n) = 0, n < 0. Concluimos que : Un sistema LTI es causal si y solo si su respuesta al impulso es cero para valores negativos de n.
Si la entrada al sistema LTI causal es una secuencia causal (i.e. x(n) = 0 para n < 0) se restringen los límites de la suma de convolución.
Por lo tanto, la respuesta de un sistema causal a una secuencia de entrada causal es causal, es decir y(n) = 0 para n < 0.
Sistemas LTI estables Definimos un sistema arbitrario relajado como estable BIBO si y solo si la secuencia de salida y(n) está acotada para toda entrada acotada x(n). Si x(n) está acotada, existe una constante Mx tal que
De modo similar, si la salida está acotada, existe una constante My tal que
Tenemos la fórmula de convolución
Tomamos el valor absoluto de ambos lados de la fórmula
El valor absoluto de la suma de los términos es siempre menor o igual a la suma de sus valores absolutos
Si la entrada está acotada, existe un número finito Mx tal que |x(n)| = Mx. Sustituyendo la cota superior para x(n) tenemos
Vemos que la salida está acotada si la respuesta al impulso del sistema satisface
Un sistema LTI es estable si su respuesta al impulso es absolutamente sumable. Esta condición no es suficiente pero si necesaria para asegurar la estabilidad del sistema
Sistemas con respuesta al impulso de duración finita e infinita Los sistemas LTI se clasifican en dos: Con respuesta finita al impulso (FIR) Con respuesta infinita al impulso (IIR)
Un sistema FIR tiene una respuesta al impulso de cero fuera de un intervalo de tiempo finito. En ellos h(n) = 0, n < 0 y n = M Y la fórmula de convolución se reduce a:
El sistema actúa como una ventana que solo ve las M muestras más recientes de entrada al formar la salida.
Los sistemas LTI IIR tienen una respuesta al impulso de duración infinita. Su salida basada en la convolución seria:
Podemos decir que un sistema FIR tiene memoria finita de tamaño M, mientras un sistema IIR tiene memoria infinita.
3. Descripción de un sistema por medio de su ecuación diferencial. Los sistemas LTI se caracterizan por su respuesta al impulso h(n) que les permite determinar su salida y(n) dada una secuencia de entrada x(n) a través de la convolución.
Los FIR involucran sumas, productos y memoria finita para realizar la convolución, mientras los IIR hacen imposible su desarrollo. Para realizar sistemas IIR se emplean ecuaciones diferenciales, y son útiles para el desarrollo de filtros, modelado de fenómenos físicos y sistemas físicos.
Sistemas discretos recursivos y no recursivos En ocasiones es deseable expresar la salida en términos de los valores pasados de la salida misma. Ejemplo, calcular el promedio acumulado de x(n) en el intervalo 0 = k = n.
Se requiere almacenar todas las muestra de entrada x(k) para 0 = k = n. Donde si n crece, requerimos más memoria. y y(n) se calcula recursivamente. Rearreglando algebraicamente tenemos:
Este es un ejemplo de un sistema recursivo. En general, un sistema cuya salida y(n) depende de valores de salida pasados y(n-1), y(n-2), … es llamado sistema recursivo.
Si n = n0, el tenemos
Y el témino y(n0 -1) es llamado condición inicial. + × × Z-1 x(n) y(n) n 1/(n+1)
Un sistema recursivo que depende de las salidas pasadas es causal, y puede expresarse como
donde F[.] denota una función con sus argumentos.
En contraste, si y(n) solo depende de sus entradas presentes y pasadas, esto es
Dicho sistema es llamado no recursivo. Un sistema recursivo debe calcular la salida en orden [y(0), y(1), y(2),…], mientras un sistema no recursivo no requiere de orden [y(200), y(15), y(3), etc.]
Sistemas LTI caracterizados por ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes Estos sistemas son una subclase de los sistemas recursivos y no recursivos. Supongamos el sistema recursivo
donde a es una constante. Si deseamos calcular la salida y(n) y asumimos la existencia de una condición inicial y(-1), tenemos para n = 0
(Gp:) + (Gp:) Z-1 (Gp:) x(n) (Gp:) y(n) (Gp:) a
Si el sistema está relajado en n = 0, entonces y(-1) = 0 y el sistema recursivo inicia sin condiciones iniciales. Se dice entonces que el sistema se halla en estado cero y su salida es una respuesta forzada o de estado cero ysz(n).
La cual es una suma de convolución donde x(n) se convoluciona con la respuesta al impulso
Si el sistema inicalmente no está relajado [y(-1)?0] y x(n) = 0 para toda n. La salida del sistema con entrada cero es llamada respuesta natural, libre o de entrada cero yzi(n). Para x(n) = 0 y -8 < n < 8 tenemos para n = 0.
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