A. PROYECCION LINEAL
CONCEPTO
Técnica de proyección y ajuste de una variable Y ( desconocida) a partir de una variable conocida (X) que en este caso es el tiempo ( variable independiente)
FORMULAS
Formula general :
Donde :
a : intercepto
b : coeficiente parcial de regresión
Y : variable independiente ( tiempo) X : variable dependiente
Cálculo de los coeficientes parciales de regresión:
Cálculo del coeficiente de determinación- R2
Es una medida de resumen, nos dice que tan exactamente la línea de regresión muestral se ajusta a los datos. Es un valor positivo que oscila entre 0 y 1 (el tiempo no tiene nada que ver con la variable en estudio)
EJEMPLO PRÁCTICO
Se tiene un destino turístico que durante los últimos años ha presentado la siguiente cantidad de visitantes:
Año X | Turistas (miles) Y | |
1999 | 21.7 | |
2000 | 27.2 | |
2001 | 38.6 | |
2002 | 54.1 | |
2003 | 66.3 | |
2004 | 74.7 | |
2005 | 82.0 | |
2006 | 94.4 | |
2007 | 100.2 | |
2008 | 107.2 | |
El gráfico nos permite apreciar que hay una clara tendencia lineal
El cuadro para trabajar la proyección es el siguiente:
X | Y | XY | X² | Y² |
1 | 21.7 | 21.7 | 1 | 470.89 |
2 | 27.2 | 54.4 | 4 | 739.84 |
3 | 38.6 | 115.8 | 9 | 1489.96 |
4 | 54.1 | 216.4 | 16 | 2926.81 |
5 | 66.3 | 331.5 | 25 | 4395.69 |
6 | 74.7 | 448.2 | 36 | 5580.09 |
7 | 82 | 574 | 49 | 6724 |
8 | 94.4 | 755.2 | 64 | 8911.36 |
9 | 100.2 | 901.8 | 81 | 10040.04 |
10 | 107.2 | 1072 | 100 | 11491.84 |
55 | 666.4 | 4491 | 385 | 52770.52 |
Encontrando a y b (n=10)
Encontrando el valor de b :
la ecuación de la recta es la siguiente :
Y = 11.5867 + 10.0097 x X
Si queremos proyectar las ventas para el período 11 tendríamos:
Y = 11.5867 + 10.0097 x 11
Y = 121.69
El coeficiente de Determinación – R2, se obtiene de la siguiente manera :
La proyección muestra que la cantidad de turistas que acude al destino turístico tiene una tendencia lineal pues las variable tiene un elevado coeficiente d determinación.
B. PROYECCION EXPONENCIAL
Es un método de proyección apropiado en el caso de que la serie de tiempo describe datos que crecen o decrecen en proporción constante a lo largo del tiempo. Ejemplo ventas de un producto, crecimiento de una población o demanda, propagación de una enfermedad entre otros.
Su expresión matemática es:
Esta modalidad depende de los valores de a y b :
Si b tiene un valor comprendido entre 0 y 1 entonces el valor de Y decrecerá al crecer X
Si b es mayor que 1 , Y crecerá con X .
El valor de a corresponde a la ordenada al origen
FORMULAS
Formula general:
Si se toman logaritmos a ambos miembros de la ecuación se puede transformar en una relación lineal:
LogY = Log ( a . bX)
Donde :
LogY = Log a + X Log b
a : intercepto
b : coeficiente parcial de regresión
Y : variable independiente ( tiempo) X : variable dependiente
Cálculo de los coeficientes parciales :
Ejemplo :
Se tienen los siguientes datos :
X | Y |
1 | 28.00 |
2 | 28.30 |
3 | 28.90 |
4 | 30.10 |
5 | 32.10 |
6 | 34.50 |
7 | 39.80 |
8 | 43.90 |
9 | 51.10 |
10 | 59.70 |
55 | 376.4 |
Vemos que la tendencia lineal sólo cruza a los datos reales en dos puntos. Por tanto usar la proyección lineal no va ser una buena decisión. En este caso vamos a utilizar la proyección exponencial.
TABLA DE DATOS
X | Y | Log Y | Log X | X.LogY | X² | (LogY)² |
1 | 28.00 | 1.4472 | 0.0000 | 1.4472 | 1 | 2.0943 |
2 | 28.30 | 1.4518 | 0.3010 | 2.9036 | 4 | 2.1077 |
3 | 28.90 | 1.4609 | 0.4771 | 4.3827 | 9 | 2.1342 |
4 | 30.10 | 1.4786 | 0.6021 | 5.9143 | 16 | 2.1862 |
5 | 32.10 | 1.5065 | 0.6990 | 7.5325 | 25 | 2.2696 |
6 | 34.50 | 1.5378 | 0.7782 | 9.2269 | 36 | 2.3649 |
7 | 39.80 | 1.5999 | 0.8451 | 11.1992 | 49 | 2.5596 |
8 | 43.90 | 1.6425 | 0.9031 | 13.1397 | 64 | 2.6977 |
9 | 51.10 | 1.7084 | 0.9542 | 15.3758 | 81 | 2.9187 |
10 | 59.70 | 1.7760 | 1.0000 | 17.7597 | 100 | 3.1541 |
55 | 376.4 | 15.6095 | 6.5598 | 88.8816 | 385 | 24.4869 |
Reemplazando : ( n=10)
La ecuación sería :
Y = 22.8552 x 1.0882X
La proyección para el período 11 sería :
Y = 22.8552 x1.088211
Y = 57.91
C. AJUSTE A LA TENDENCIA
Con frecuencia se tiene una serie estadística que tiene un patrón estacional, es decir un conjunto de datos secundarios que se repiten con cierta frecuencia en una serie de años. Esto es frecuente por ejemplo en las cifras de negocios que tienen temporadas en las que las ventas aumentan y disminuyen (ciclo de negocios), como las ventas de útiles escolares, los productos veraniegos o las temporadas en el negocio turístico.
Como ejemplo observamos la siguiente serie de datos:
¿ Cómo se trabajan estos datos?
1º Se calculan los promedios de cada año
2º Se obtienen los índices desestacionalizados – ID
3º Se obtiene la demanda desestacionalizada – DD
La línea de tendencia lineal se obtiene de la columna de demanda desestacionalizada – DD y obtenemos la siguiente ecuación:
Y = 4.5424 + 0.2332 X
4º Se proyectan, con esta ecuación, los datos del año 4
5º Se ajusta la demanda proyectada usando los indices desestacionalizados vistos en el punto 2º:
Estos serían los valores de la demanda estimados para el año 4 y respetan la tendencia histórica.
Autor:
Econ. Luis Flores Cebrián
Octubre 2011