Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros.
Vectores ortogonales
Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto escalar es cero.
Vectores ortonormales
Dos vectores son ortonormales si:
1. Su producto escalar es cero.
2. Los dos vectores son unitarios.
Propiedades del Espacio Vectorial
Suma de vectores
Regla del paralelogramo Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.
Resta de vectores
Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.
Producto de un número por un vector
Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.
Combinación lineal
Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.
Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección.
Esta combinación lineal es única.
Vectores linealmente dependientes e independientes
Vectores linealmente dependientes
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.
Propiedades
1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.
También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.
2. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.
Vectores linealmente independientes
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.
Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.
Ejemplo
Deterrminar si son linealmente dependientes o independientes los vectores.:
Base
Las coordenadas del vector respecto a la base son:
Ejemplos
Los dos vectores que forman una base no pueden ser paralelos.
Ejemplo
Qué pares de los siguientes vectores forman una base:
Base ortogonal
LLos dos vectores de la base son perpendiculares entre sí.
Base ortonormal
Los dos vectores de la base son perpendiculares entre sí, y además tienen módulo 1.
Es la base que se utiliza habitualmente, de modo que si no se advierte nada se supone que se está trabajando en esa base.
Bases ortogonales y Ortonormales
Los vectores base son perpendiculares y tienen distinto módulo.
Ortonormal
Los vectores de la base son perpendiculares, iguales y unitarios, es decir, de módulo 1.
Las rectas OX, OY se llaman ejes de coordenadas o ejes coordenados cartesianos.
Autor:
Néstor Sanz
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