Si las potencia son absorbidas por dos resistencias iguales, entonces El término “dB” ha llegado a ser tan popular que ahora se usa para razones de voltaje y corriente, como se ilustra en la ecuación anterior, haciendo caso omiso de la impedancia empleada en cada caso. En el caso senoidal en estado estable, H(j?) puede escribirse en general como:
Recuerde que s=j? y ?=1/?, entonces la ecuación anterior se puede escribir como: Observe que ambas ecuaciones contienen los siguientes factores típicos: 1. Un factor Ko>0 independiente de la frecuencia. 2. Polos o ceros en el origen de la forma j?, es decir, (j?)+N para ceros y (j?)-N para polos. 3. Polos o ceros de la forma (1+j??). 4. Polos o ceros cuadráticos de la forma 1 + 2?(j??) + (j??)2.
Tomando el logaritmo de la magnitud de la función H(j?) se obtiene: 20log10|H(j?)| = 20log10Ko ? 20Nlog10|j?| + 20log10|1+j??1| Observe que hemos usado el hecho de que el logaritmo del producto de dos o más términos es igual a la suma de los términos individuales, el logaritmo del cociente de dos términos es igual a la diferencia de los logaritmos individuales, y el hecho de que log10An = nlog10A. El ángulo de fase para H(j?) es: + 20log10|1+2?3(j??3)+(j??3)2| + ? – 20log10|1+j??a| – 20log10|1+2?b(j??b)+(j??b)2| – ? |H(j?) = 0 ? N(90º) +tan-1??1
Examinemos algunos de los términos individuales e ilustremos una manera eficiente de graficarlos en un diagrama de Bode. El diagrama de magnitud es una línea horizontal puesta a: 0 dB si |Ko| = 1 bajo de 0 dB si |Ko| < 1 arriba del 0 dB si |Ko| > 1
Funciones con frecuencia invariante (Termino constante) H(s) = Ko, entonces |H(s)|dB = 20log10Ko
El diagrama de fase es una línea horizontal puesta a: 0o si Ko es positiva -180º si Ko es negativa
El diagrama de magnitud es una línea con pendiente de +20 dB/década sobre todo el rango de frecuencias, para el caso de un cero. Si ?/?o = 1, la curva pasa por 0 dB. Funciones con raíces en el origen (polos o ceros en el origen) H(s) = (s/?o)?1, el signo + si la raíz es un cero y el signo – si la raíz es un polo |H(s)|dB = ?20log10(?/?o)
El diagrama de magnitud es una línea con pendiente de -20 dB/década sobre todo el rango de frecuencias, para el caso de un polo. ?20 dB/dec = ?6 dB/oct
El diagrama de fase es una línea horizontal a +90º sobre todo el rango de frecuencias, para el caso de un cero.
El diagrama de fase es una línea horizontal a -90º sobre todo el rango de frecuencias, para el caso de un polo.
El diagrama de magnitud tiene dos asíntotas, una de baja frecuencia (a.b.f) y una de alta frecuencia (a.a.f). a.b.f |H(s)|=0 para ?/?o ? 1 a.a.f |H(s)|=?20log10(?/?o) para ?/?o ? 1 Funciones de raíces reales negativas (polo o cero simple) H(s) = (s/?o+1)?1, el signo + si la raíz es un cero y el signo – si la raíz es un polo |H(s)|dB = ?20log10[1+(?/?o)2] para ?/?o = 1 |H(s)|dB=?3dB
El diagrama de magnitud tiene dos asíntotas, una de baja frecuencia (a.b.f) y una de alta frecuencia (a.a.f). a.b.f |H(s)|=0 para ?/?o ? 1 a.a.f |H(s)|=?20log10(?/?o) para ?/?o ? 1 para ?/?o = 1 |H(s)|dB=?3dB
El diagrama de fase tiene dos asíntotas, una de baja frecuencia (a.b.f) y una de alta frecuencia (a.a.f). a.b.f ?H(s)=0o para ?/?o ? 0.1 a.a.f ?H(s)=?90º para ?/?o ? 10. Para 0.1 ? ?/?o ? 10 existen pendientes de ?45º para ?/?o = 1 ?H(s) =?45º para ?/?o = 0.1 y ?/?o = 10 la fase tiene desviaciones de cerca 6º.
El diagrama de fase tiene dos asíntotas, una de baja frecuencia (a.b.f) y una de alta frecuencia (a.a.f). a.b.f ?H(s)=0o para ?/?o ? 0.1 a.a.f ?H(s)=?90º para ?/?o ? 10. Para 0.1 ? ?/?o ? 10 existen pendientes de ?45º para ?/?o = 1 ?H(s) =?45º para ?/?o = 0.1 y ?/?o = 10 la fase tiene desviaciones de cerca 6º.
El diagrama de magnitud tiene dos asíntotas, una de baja frecuencia (a.b.f) y una de alta frecuencia (a.a.f). a.b.f |H(s)|=0 para ?/?o ? 1 a.a.f |H(s)|=?40log10(?/?o) para ?/?o ? 1 Funciones con pares de raíces complejas (polos o ceros cuadráticos) H(s) = [(s/?o)2+2?(s/?o)+1]?1, el signo + si la raíz es un cero y el signo – si la raíz es un polo |H(s)|dB = ?10log10{[1+(?/?o)2]2+[2?(?/?o)]2} H(j?) = [1-(?/?o)2+2?j(?/?o)]?1
El diagrama de fase tiene dos asíntotas, una de baja frecuencia (a.b.f) y una de alta frecuencia (a.a.f). a.b.f ?H(s)=0o para ?/?o ? 0.1 a.a.f ?H(s)=?180º para ?/?o ? 10. Para 0.1 ? ?/?o ? 10 existen pendientes de ?90º
Las aproximaciones en línea rectas (asíntotas), para este caso son satisfactorias para ? cerca 1/?2, pero para pequeños valores de ? debemos aplicar correcciones para reflejar la presencia de un pico. Estas correcciones son hechas en los siguientes puntos significantes. 1) a la frecuencia de corte, es decir, ?/?o = 1, entonces |H(s)|dB = ?20log102? 2) a la frecuencia donde se da el pico, ?/?o = ?(1-?2), entonces |H(s)|dB = ?10log10[4?2(1-?2)] 3) una octava debajo de la frecuencia de corte, es decir ?/?o = 1/2, entonces |H(s)|dB = ?10log10(?2+0.752) 4) a la frecuencia a la cual la curva de magnitud cruza el eje de 0 dB, ?/?o = ?[2(1-2?2)] 5) a la fase, una octava debajo de la frecuencia de corte, es decir, ?/?o = 1/2, entonces ?H(s) = ?tan-1(?/0.75)
6) a la fase, una octava arriba de la frecuencia de corte, es decir, ?/?o = 2, entonces ?H(s) = ?[180-tan-1(?/0.75)] En las siguientes Figuras se muestran los puntos de las correcciones que se deben hacer
Como estamos usando una hoja milimetrada, es necesario introducir la definición de intervalo de década o llamado también ciclo. Dado un valor de frecuencia específica dentro del ciclo 10n ? ? ? 10n+1 rad/s, su localización “l” dentro del ciclo es: Múltiples raíces Si una raíz o una pareja de raíces complejas tienen multiplicidad r, entonces el término correspondiente tiene la forma Hr. Así tenemos: |Hr(j?)|dB = r*|H(j?)|dB ?Hr(j?) = r*?H(j?)
Localizar 320 rad/s, y 2000 rad/s Ejemplo Solución 102 rad/s ? 320 rad/s ? 103 rad/s, entonces: 103 rad/s ? 2000 rad/s ? 104 rad/s, entonces:
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