Teoría de conjuntos

Idea de conjunto

Todos tenemos la idea de lo que es un conjunto: es una colección, agrupación, asociación, reunión, unión de integrantes homogéneos o heterogéneos, de posibilidades reales o abstractas. Los integrantes pueden ser números, letras, días de la semana, alumnos, países, astros, continentes, etc. a estos integrantes en general, se les denomina "elementos del conjunto".

Ejemplos:

• a) El conjunto formado por los primeros veinte números naturales.

• b) El conjunto formado por docentes de una Institución Educativa.

• c) El conjunto formado por los actuales presidentes regionales del Perú.

• d) El conjunto formado por las computadoras de una cabina de Internet.

Sin embargo, el concepto que tenemos es un "concepto intuitivo", el cual pues no es correcto pues también existe conjuntos formados por un solo elemento y conjuntos formados sin elementos lo cual contradice la idea que teníamos.

Ejemplos:

• a) El conjunto constituido por los animales que maman.

• b) El conjunto de ciudades de la sierra peruana.

• c) El conjunto de los números naturales menores que 6 y mayores que 5.5

• d) El conjunto de de personas mayores de 500 años de edad.

Definición tentativa de conjunto

Si tomamos todas las ideas anteriores entonces conjunto se define como "la presencia o ausencia de elementos con características semejantes dentro de un contexto real o imaginario".

NOTACIONES DE UN CONJUNTO

• I. A conjuntos se les denotará con letras mayúsculas A, B, C…..y a sus elementos con letras minúsculas; a, b, c, d,……para separar los elementos se emplean comas (,) y el punto y coma para separar conjuntos o subconjuntos.

Ejemplo:

• II. El símbolo empleado para expresar que un elemento pertenece a un conjunto es: (

Ejemplo:

• III. el símbolo utilizado para expresar que un elemento "no pertenece" a un conjunto es: (

Ejemplo:

• IV. Cuando un conjunto "R" está constituido por varios elementos como por ejemplo: a, e, i, o, u o por subconjuntos: {2}; {3, 4}; los escribimos entre LLAVES "{}".

Ejemplo:

Determinación de conjuntos

1. Por Extensión

Un conjunto "D" está determinado por extensión cuando se mencionan uno por uno todos sus elementos o cuando, si son números, se mencionan los primeros de ellos (y se coloca puntos suspensivos)

Ejemplos:

D = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado,

domingo}

C = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…………………}

Sin embargo, no todos los conjuntos pueden ser determinados de esta sobre todo cuando el número de elementos que constituyen el conjunto es muy elevado.

Imagine los casos de aquellos conjuntos que tienen infinitos elementos como el conjunto de estrellas del universo.

Es por ello, que necesariamente, se debe emplear otro procedimiento para determinar los conjuntos que tienen muchos elementos. A esta otra forma de determinar a un conjunto se le denomina comprensión que también se puede utilizar para cualquier conjunto.

2. Por Comprensión

Un conjunto "D" está determinado por comprensión cuando se enuncia una ley o una función que permite conocer que elementos la cumplen y por tanto, van a pertenecer al conjunto D.

Para diferenciar cada forma de determinar un conjunto veamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1

Por extensión:

D = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}

Por comprensión: (una posible respuesta sería)

D = {x/"x" es un día de la semana}

Se lee:

"El conjunto D está formado por todos los elementos "x" que satisfacen la condición de ser un día de la semana".

Otra posible respuesta sería:

"D es el conjunto constituido por todos los elementos "x" tal que X es un día de la semana"

Ejemplo 2

Por extensión:

C = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…………………}

Por comprensión: (una posible respuesta sería)

C = {x/x = (2n – 1) ^ x(N}

Se lee: