Cálculo del Factor de Fricción con la Ecuación de Colebrook para Fluidos Newtonianos

1. El Método de Bisección
2. La Ecuación de Colebrook Resuelta por el Método de Bisección
3. Problemas de comprobación para el programa de cálculo de f – Método de Bisección

El Factor o coeficiente de fricción puede deducirse matemáticamente en el caso de régimen laminar, pero en el caso de flujo turbulento no se dispone de relaciones matemáticas sencillas para obtener la variación de f con el número de Reynolds. Además, algunos investigadores han demostrado que la rugosidad relativa de la tubería (relación de la altura de las imperfecciones superficiales al diámetro interior de la tubería) también influye en el valor de f.

Para flujo laminar en todas las tuberías y para cualquier fluido, el valor de f viene dado por:

f = 64/Re

Re tiene un valor práctico máximo de 2000 para que el flujo sea laminar.

Para flujo turbulento para todas las tuberías, el Instituto de Hidráulica de Estados Unidos y la mayoría de ingenieros consideran la ecuación de Colebrook como la más aceptable para calcular f. La ecuación es:

Como la solución de esta ecuación es muy engorrosa, hay disponibles diagramas que dan las relaciones existentes entre el coeficiente de fricción f, el número de Reynolds Re y la rugosidad relativa .

Se observa (en la ecuación) que para tuberías lisas, en las que el valor de є/D es muy pequeño, puede despreciarse el primer término entre corchetes; puede aplicar al cálculo de f para fluidos no Newtonianos. Igualmente, para números de Reynolds Re muy elevados, el segundo término entre corchetes es despreciable; en tales casos la viscosidad no influye prácticamente y f depende tan sólo de la rugosidad relativa de la tubería. Este hecho puede notarse en los diagramas de fricción en los que las curvas se vuelven horizontales para números de Reynolds elevados.

El Método de Bisección

Considérese la ecuación cúbica:

f(x) = x3 + x2 – 3x -3 = 0

para x = 1 , f tiene el valor – 4. Para x = 2, f tiene el valor + 3. Puesto que la función es contínua, es obvio que el cambio en el signo de la función entre x = 1 y x = 2 garantiza al menos una raíz en el intervalo (1, 2). (Ver Figura 1)

Supóngase que evaluamos la función para x = 1,5 y comparamos el resultado con los valores de la función para x = 1 y x = 2. Puesto que la función cambia de signo entre x = 1,5 y x = 2 hay una raíz entre esos valores. Se puede continuar con esta partición a mitades del intervalo para lograr un intervalo cada vez menor dentro del cual debe haber una raíz.

Para este ejemplo la continuación del proceso conduce a una aproximación de la raíz para x = 31/2 = 1,7320508075… .

El proceso se ilustra en la Figura 2. Esta aproximación gráfica puede mejorarse y para lograr mayor exactitud, hace falta una regla que permita ejecución matemática. También debe expresarse el algoritmo (nombre técnico para un procedimiento sistemático) de manera que haga fácil implementar el método con una computadora.