Las medidas de tendencia central son medidas representativas que como su nombre lo indica, tienden a ubicarse hacia el centro del conjunto de datos, es decir, una medida de tendencia central identifica el valor del dato central alrededor de cual se centran los demás datos, siendo la media aritmética una de aquellas medidas.
La medida aritmética, a igual que cualquier otra medida de datos estadísticos, cuando se calcula a nivel de toda la población, se denominan parámetro, como por ejemplo, la calificación promedio en el examen de admisión de todos los estudiantes que ingresan a la Universidad UTN al primer semestre del presente año lectivo. Pero si se calcula basada en muestras, se denomina estadígrafo o estadístico, como por ejemplo, la calificación promedio en el examen de admisión de estudiantes de colegios fiscales que ingresan a la Universidad UTN al primer semestre del presente año lectivo.
1.1) Definición
Es la medida de tendencia central más utilizada por lo general se ubica hacia el centro de distribución estadística.
1.2) Métodos de Cálculo
a) Para Datos sin Agrupar
b) Para Datos Agrupados en Tablas de Frecuencias.- Cuando una serie se la agrupa en serie simple con frecuencias para obtener la media aritmética, se multiplica la variable por la frecuencia respectiva (f), luego se obtiene la suma de todos estos productos y luego a este valor se lo divide para el número de elementos (n). Todo esto puede representarse mediante una fórmula matemática, así:
Donde n=f es la frecuencia total (o sea, el número total de casos)
c) Para Datos Agrupados en Intervalos.- Cuando una serie se la agrupa en intervalos para obtener la media aritmética, se multiplica la marca de clase de intervalo (xm) por la frecuencia respectiva (f), luego se obtiene la suma de todos estos productos y luego a este valor se lo divide para el número de elementos. Todo esto puede representarse mediante una fórmula matemática, así
x=f1·xm1+f2·xm2+f3·xm3+…fn·xmnf1+f2+f3+···fn=fi·xmif=f·xmn
Ejemplo ilustrativo
Calcular la media aritmética de las siguientes calificaciones de Estadística tomadas de una muestra de 20, sin agrupar, agrupando en tablas de frecuencias y agrupando en intervalos.
4, 8, 10, 10, 5, 10, 9, 8, 6, 8, 10, 8, 5, 7, 4, 4, 8, 8, 6 y 6
Solución:
1) Sin agrupar
x=xin
x=4+8+10+10+5+10+9+8+6+8+10+8+5+7+4+4+8+8+6+620
x=14420=7,2
En Excel se calcula así:
2) Agrupando en tablas de frecuencias
Además presentar los datos en un diagrama de sectores.
x | f |
4 | 3 |
5 | 2 |
6 | 3 |
7 | 1 |
8 | 6 |
9 | 1 |
10 | 4 |
Total | 20 |
x=fxn
x=3·4+2·5+3·6+1·7+6·8+1·9+4·103+2+3+1+6+1+4=14420=7,2
En Excel se calcula insertando la función:
=SUMAPRODUCTO(A12:A18;B12:B18)/SUMA(B12:B18)
3) Agrupando en intervalos
Intervalos | f | xm | |
4- 5 | 5 | 4,5 | |
6 -7 | 4 | 6,5 | |
8- 9 | 7 | 8,5 | |
10-11 | 4 | 10,5 | |
x=f·xmn
x=5·4,5+4·6,5+7·8,5+4·10,55+4+7+4=15020=7,5
Nota: Cuando se agrupa en intervalos los cálculos son sólo aproximaciones
En Excel se calcula insertando la función: SUMAPRODUCTO (C27:C30;D27:D30)/SUMA(C27:C30) como se muestra en la siguiente figura:
Nota: La principal propiedad de la media aritmética es:
La suma algebraica de las desviaciones de un conjunto de datos respecto de su media aritmética es cero
Si x es un dato, su desviación respecto a x es la diferencia x-x. La suma de estas diferencias es 0.
Para datos sin agrupar:x-x=0
Para datos agrupados en tablas de frecuencias:fx-x=0
Para datos agrupados en intervalos:fxm-x=0
Empleando los datos del ejemplo anterior se comprueba la principal propiedad de la media aritmética:
Cuando los números x1, x2, x3,….xk se les asocia ciertos factores peso (o pesos) w1, w2, w3,….wk, dependientes de la relevancia asignada a cada número, en tal caso se requiere calcular la media aritmética ponderada, la cual se calcula así:
x=w1·x1+w2·x2+w3·x3+…wk·xkw1+w2+w3+…wk=w·xw
Ejemplo ilustrativo: Se tiene una información acerca de las utilidades por pan y cantidades vendidas de panes de tres tiendas. Calcular la media aritmética promedio de la utilidad por pan.
Tienda | Utilidad/pan | Cantidad vendida | |||
1 | 1 | 2000 | |||
2 | 0,8 | 1800 | |||
3 | 0,9 | 2100 | |||
Solución:
x=w1·x1+w2·x2+w3·x3+…wk·xkw1+w2+w3+…wk=w·xw
x=2000·1+1800·0,8+2100·0,92000+1800+2100=53305900=0,90339
En Excel se calcula insertando de la siguiente manera:
Se insertar la función: SUMAPRODUCTO (B36:B38;C36:C38)/SUMA(C36:C38)
BENALCÁZAR, Marco, (2002), Unidades para Producir Medios Instruccionales en Educación, SUÁREZ, Mario Ed. Graficolor, Ibarra, Ecuador.
DAZA, Jorge, (2006), Estadística Aplicada con Microsoft Excel, Grupo Editorial Megabyte, Lima,
Perú.
GOVINDEN, Lincoyán, (1985), Introducción a la Estadística, Ed. McGraw Hill. Interamericana
Editores. S.A., Bogotá, Colombia.
JOHNSON, Robert, (2003), Estadística Elemental, Ed. Math Learning, Ed. Tercera, México DF.
KUBY, Patricia.
KAZMIER, J. Leonard, (1990). Estadística Aplicada a la Administración y la Economía,
Ed. McGrawHill, Ed. Segunda, Bogotá, Colombia.
LIND, Marchal, (2005), Estadística Aplicada a los Negocios y a la Economía, Ed. McGraw- Hill,
MASON Ed. Décima., Mexico DF.
MARTINEZ, Bencardino, (1981), Estadística Comercial, Ed. Norma, Bogotá, Colombia.
MORENO, Francis, (1993), Estadística Inferencial, Universidad Particular de Loja, Loja, Ecuador.
SÁNCHEZ, Jesús, (2007), Introducción a la Estadística Empresarial, Madrid, España.
SALTOS, Héctor, (1986), Estadística de Inferencia, Ed. Pío XII, Ambato, Ecuador.
SHAO, Stephen, (1980), Estadística para Economistas y Administradores de Empresas, Ed. Herrero
Hnos, México DF.
SPIEGEL, Murray, (2000), Estadística, Serie de Compendios Schaum, Ed. McGraw-Hill, México.
SUÁREZ, Mario, (2004), Interaprendizaje Holístico de Matemática, Ed. Gráficas Planeta, Ibarra,
Ecuador.
STEVENSON, William, (1981), Estadística para Administración y Economía, Ed. Harla S.A de C.V.
México D.F.
WEBSTER, Allen, (2000), Estadística Aplicada a los Negocios y a la Economía, Ed. McGraw Hill.
Interamericana Editores S.A. Bogotá, Colombia
Autor:
Mario Orlando Suárez Ibujes