El Teorema de Steiner para momentos segundos mixtos se deducen a partir de la figura en donde los ejes x e y pasan por el centroide C de la superficie y son paralelos, respectivamente a los ejes x´ e y´. Así, Las integrales segunda y tercera son nulas por ser centroidales los ejes x e y.
En consecuencia, el momento segundo mixto respecto a un par de ejes paralelos a dos ejes centroidales ortogonales es
Momentos segundos mixtos de superficies planas 1/2
Momentos segundos mixtos de superficies planas 2/2
Momentos segundos principales El momento segundo de la superficie A de la figura respecto al eje x´ que pasa por O variará con el ángulo ?. Los ejes x e y utilizados para obtener el momento segundo polar Jz respecto a un eje z que pase por O eran dos ejes ortogonales cualesquiera del plano de la superficie que pasaran por O; por tanto, Donde x´e y´son dos ejes ortogonales cualesquiera que pasen por O. Como la suma de Ix´ e Iy´ es constante, Ix´ será máximo y el correspondiente Iy´ mínimo para un valor particular de ?. El sistema de ejes para el cual los momentos segundos son máximo y mínimo se denominan ejes principales de la superficie en el punto O y se les designa por eje u y eje v (estos ejes son importantes en Resistencia de materiales al estudiar vigas y columnas). Así los momentos segundos principales así obtenidos respecto a estos ejes se designan por Iu e Iv.
Momentos de Inercia En los análisis del movimiento de un cuerpo rígido (DINAMICA), aparecen a menudo expresiones en las que interviene el producto de la masa de un pequeño elemento por el cuadrado de su distancia a una recta de interés. Este producto recibe el nombre de momento de inercia del elemento. Así pues, el momento de inercia dI de un elemento de masa dm respecto al eje OO es, El momento de inercia de todo el cuerpo respecto al eje OO es: Siempre será positivo dado que tanto la masa como el cuadrado de su distancia al eje son cantidades positivas y como tiene las dimensiones ML2, su unidad de medida del SI será el kg.m2
Los momentos de inercia de un cuerpo respecto a los ejes de coordenadas de un sistema xyz se pueden determinar considerando un elemento de masa como el de la figura, así: Para los ejes y y z se pueden escribir ecuaciones análogas con lo que nos quedaría:
Radio de giro El momento de inercia (al tener las dimensiones de masa por el cuadrado de una longitud) se podrá expresar como producto de la masa m del cuerpo por el cuadrado de una longitud k llamada radio de giro. Así pues, el momento de inercia I de un cuerpo respecto a una recta dada se puede expresar en la forma: El radio de giro de la masa de un cuerpo respecto a un eje cualquiera puede interpretarse que es la distancia al eje de un punto en el que habría que concentrar toda la masa del cuerpo para tener el mismo momento de inercia respecto al eje que la masa real.
No existe ninguna interpretación física útil del radio de giro; no es más que un medio conveniente de expresar el momento de inercia de masa de un cuerpo en función de su masa y una longitud.
Teorema de Steiner para momentos de inercia Considérese el cuerpo representado en la figura, en cuyo centro de masa G se toma el origen del sistema de coordenadas xyz y considérese también un sistema de coordenadas x´y´z´ de origen en el punto O´y ejes paralelos a los anteriores. En la figura se observa que La distancia dx que separa los ejes x´y x es Así pues, el momento de inercia del cuerpo respecto al eje x´, paralelo al eje x que pasa por el centro de masa es, desarrollando
y como los ejes y y z pasan por el c.d.m. G del cuerpo, Por tanto, Ahora bien, como Teorema de Steiner para momentos de inercia
Así pues, si se conoce el momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje que pase por su centro de masa, se podrá hallar el momento de inercia respecto a otro eje cualquiera paralelo a él, sin necesidad de integración, utilizando las ecuaciones anteriores. Entre los radios de giro respecto a estos dos ejes paralelos existe una relación similar dada por luego Los dos sistemas de ecuaciones enmarcados sólo son válidos para pasar de ejes xyz que pasen por el centro de masa a otros ejes paralelos a ellos o al revés. ¡No son válidos para ejes paralelos arbitrarios!
Momentos de inercia de cuerpos compuestos Muchas veces el cuerpo de interés puede descomponerse en varias formas simples tales como cilindros, esferas, placas y varillas, para las cuales se han calculado y tabulado previamente los momentos de inercia. (Ver tablas siguientes).
El momento de inercia del cuerpo compuesto respecto a un eje cualquiera es igual a la suma de los momentos de inercia de las distintas partes que lo componen respecto a dicho eje. Por ejemplo, Cuando una de las partes componentes sea un agujero, su momento de inercia deberá restarse del momento de inercia de la parte mayor para obtener el momento de inercia del cuerpo compuesto.
Momentos de inercia de formas corrientes 1/3
Momentos de inercia de formas corrientes 2/3
Momentos de inercia de formas corrientes 3/3
PROBLEMA 3 Determinar el momento de inercia del volante de hierro colado de la figura respecto a su eje de rotación. Densidad del hierro colado 7730 kg/m3.
Producto de inercia En los estudios de movimientos de cuerpos rígidos (DINAMICA) aparecen, a veces, expresiones en las que intervienen el producto de la masa de un pequeño elemento por las distancias del mismo a un par de planos de coordenadas ortogonales. Se trata de del producto de inercia del elemento.
Por ejemplo, el producto de inercia del elemento representado en la figura respecto a los planos xz e yz es La suma de los productos de inercia de todos los elementos de masa del cuerpo respecto a los mismos planos ortogonales se define como el producto de inercia del cuerpo.
Así pues, los tres productos de inercia del cuerpo representado son Los productos de inercia, como los momentos de inercia, tienen las dimensiones ML2 por lo que su unidad de medida del SI será el kg.m2 El producto de inercia de un cuerpo puede ser positivo, negativo o nulo ya que las coordenadas tiene signos independientes. El producto de inercia será nulo cuando uno u otro de los planos sea un plano de simetría, ya que los pares de elementos simétricos respecto a éste tendrán productos de inercia opuestos cuya suma dará cero. Los productos de inercia de placas delgadas con densidad ? uniforme, con grosor t uniforme y una sección de área A y suponiendo además que los ejes x e y están contenidos en el plano medio de la placa (plano de simetría), serán
Se puede desarrollar, para los productos de inercia, un teorema de Steiner muy parecido al de los momentos segundos mixtos de superficie vistos anteriormente. Considérese el cuerpo representado en la figura, el cual tiene un sistema de coordenadas xyz con origen en el centro de masa G del cuerpo y un sistema de coordenadas x´y´z´ con origen en el punto O´ y ejes paralelos a los anteriores. En la figura se observa que Por tanto, como tenemos que:
PROBLEMA 4 Determinar los productos de inercia Ixy, Iyz e Izx de la voladera plana y homogénea de acero de la figura. El orificio se encuentra en el centro de la placa. Densidad del acero 7870 kg/m3.
Momentos de inercia principales En algunos casos, en el análisis dinámico de cuerpos, hay que determinar ejes principales y momentos de inercia máximo y mínimo.
El problema estriba en transformar momentos y productos de inercia fácilmente calculables respecto a un sistema de coordenadas en los correspondientes a otro sistema x´y´z´ de igual origen O pero inclinados respecto a los ejes xyz. Considérese el cuerpo representado en la figura, en donde el eje x´ forma los ángulos ?x´x, ?x´y y ?x´z con los ejes x, y y z respectivamente. El momento de inercia Ix´ es, por definición: Desarrollando y realizando un análisis similar al que se realiza para localizar los ejes principales y determinar los momentos segundos de superficie máximo y mínimo, se pueden localizar los ejes principales de inercia y determinar los momentos de inercia máximo y mínimo.
PROBLEMA 5 Un cuerpo compuesto consiste en un bloque rectangular de latón (?=8,75 Mg/m3) unido a un cilindro de acero (?=7,87 Mg/m3) según se indica en la figura. Determinar el momento de inercia del cuerpo compuesto y el radio de giro respecto al eje y que se indica en la figura.
PROBLEMA 6 Calcula el momento de Inercia respecto al eje x del cuerpo de la figura siguiente compuesto por dos cilindros de acero (?=7850 kg/m3) y una esfera de latón (?=8750 kg/m3).
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