Lazos enganchados por fase, Phase Locked Loops (PLLs) Conceptos previos: Función de transferencia de sistemas realimentados. Fases y frecuencias. (Gp:) Función de transferencia en lazo cerrado
xe y xs pueden ser magnitudes de distinto tipo
Casos particulares con realimentación negativa ?1 + G(s)·H(s) ? > 1 Alta ganancia de lazo ? G(s)·H(s) >> 1 ? xs(s)/xe(s) = 1/H(s) La red de realimentación determina la función de transferencia Con H(s)=1 y G(s) >> 1 ? xs(s)/xe(s) = 1 ? xs(s) = xe(s) ¡Ojo!: xs(s) y xe(s) no tienen por qué ser tensiones o corrientes; podrían ser, por ejemplo fases.
Fases y frecuencias (I) Señal de banda estrecha: v1(t) = a(t)·cos(F(t)) (Gp:) v1(t) (Gp:) t
Con amplitud constante: v1(t) = A·cos(F(t)) (Gp:) v1(t) (Gp:) t
F(t) es la fase absoluta
Fases y frecuencias (II) F(t) = wct + fr(t) v1(t) = A·cos(F(t)) (Gp:) v1(t) (Gp:) t
(Gp:) t (Gp:) F(t)
(Gp:) fr(t1)
(Gp:) wct1
(Gp:) t1
wc es una frecuencia constante cualquiera fr(t) es la fase relativa a la elección de wc (Gp:) t (Gp:) F(t)
(Gp:) t1
(Gp:) fr(t1) (Gp:) wct1
(Gp:) w0t1 (Gp:) f0(t1)
Ahora buscamos una wc a la que fr(t) esté acotada: F(t) = wct + fr(t) = = w0t + f0(t) Así obtenemos w0 y f0(t). w0 es la frecuencia media
Fases y frecuencias (III) Resumen: F(t) = wct + fr(t) = w0t + f0(t) (w0 es la frecuencia media si f0(t) está acotada) Frecuencia instantánea y frecuencia relativa: d(F(t))/dt = w(t) = wc + d(fr(t))/dt = wc + wr(t) w(t) es la frecuencia instantánea, wc es una frecuencia cualquiera, y wr(t) es la frecuencia relativa a wc. ¡Ojo!: todas ellas son frecuencias angulares (en rad/s). Para pasar a frecuencias “en Hercios” hay que dividir por 2p. Otra forma de expresar la fase relativa: fr(t) = (w0- wc)·t + f0(t) = Dw·t + f0(t)
Estructura básica de un PLL (I) ve = Vesen(Fe) vosc = Voscsen(Fosc) (Gp:) Detector de fases: entrega una tensión proporcional a la diferencia de fases
(Gp:) Oscilador controlado por tensión (VCO): la frecuencia de la señal de salida depende de una tensión de control
(Gp:) Filtro pasa-bajos: Necesario para filtrar la salida del detector de fases
(Gp:) V = k(DF) (Gp:) ve (Gp:) vosc (Gp:) Salida (Gp:) Entrada
Estructura básica de un PLL (II) (Gp:) ve = Vesen(Fe) (Gp:) vosc = Voscsen(Fosc) (Gp:) V = k(DF) (Gp:) ve (Gp:) vosc (Gp:) Salida (Gp:) Entrada
Muy importante: como lo que se comparan son las fases de las señales de salida y entrada y como la ganancia de la red de realimentación es 1, el sistema tenderá a anular la diferencia de fases entre estas señales. Los niveles de tensión de ambas no serán similares. (Gp:) ve
(Gp:) vosc
(Gp:) DF
(Gp:) En fase
Diagrama de bloques de un PLL (I) (Gp:) Vesen(Fe) (Gp:) Voscsen(Fosc)
Estudiamos los PLLs aplicando la teoría de sistemas. (Gp:) Detector de fases:
(Gp:) – (Gp:) VCO (Gp:) Conv. F/V (Gp:) Filtro pasa-bajos (Gp:) Fe (Gp:) Fosc (Gp:) Fosc
Hay que localizar un punto de equilibrio para linealizar el funcionamiento del sistema. La clave está en el VCO.
VCO controlado por una tensión vc que puede tomar valores positivos y negativos. Diagrama de bloques de un PLL (II) Por tanto: wosc = wosc0 + 2p·KV·vc fosc = fosc0 + KV·vc (linealizando el comportamiento del varicap) (Gp:) +
Ojo: en este caso KV > 0
Diagrama de bloques de un PLL (III) (Gp:) Como: wosc = wosc0 + 2p·KV·vc ? Fosc = wosc0·t + 2p·KV· vc·dt (Gp:) ? (Gp:) t (Gp:) 0
Ahora referimos la fase absoluta Fosc a la frecuencia wosc0: Fosc = wosc0·t + fosc(vc) (Gp:) ? (Gp:) t (Gp:) 0 (Gp:) Siendo fosc(vc) = 2p·KV· vc·dt la fase relativa
Hacemos lo mismo (referir a la frecuencia wosc0) la fase absoluta Fe: Fe = wosc0·t + fe fosc fe vc Diagrama de bloques relativo a wosc0 vDF (Gp:) fe- fosc
Diagrama de bloques de un PLL (IV) (Gp:) ? (Gp:) t (Gp:) 0 (Gp:) VCO: fosc(vc) = 2p·KV· vc·dt
Tomamos transformadas de Laplace y calculamos las funciones de transferencia: (Gp:) fosc (Gp:) fe (Gp:) vc (Gp:) vDF
Ecuaciones: Filtro pasa-bajos vc = F(vDF) Convertidor F/V: vDF = KDF·(Fe – Fosc) = KDF·(fe – fosc) VCO: fosc(s)/vc(s) = 2p·KV/s Filtro pasa-bajos vc(s)/vDF(s) = F(s) Convertidor F/V: vDF(s)/Df(s) = KDF Restador de fases: Df(s) = fe(s) – fosc(s)
Diagrama de bloques de un PLL (V) (Gp:) – (Gp:) KDF (Gp:) F(s) (Gp:) 2p·KV/s (Gp:) Df(s) (Gp:) fosc(s) (Gp:) vc(s) (Gp:) vDF(s) (Gp:) fe(s) (Gp:) Conv. F/V (Gp:) Filtro pasa-bajos (Gp:) VCO
Funciones de transferencia (I) (Gp:) 2p·KV·KDF·F(s)/s (Gp:) Tfo-fe(s) = fosc(s)/fe(s) = = (Gp:) 1 + 2p·KV·KDF·F(s)/s (Gp:) 2p·KV·KDF·F(s) (Gp:) s + 2p·KV·KDF·F(s)
(Gp:) TDf-fe (s) = Df(s)/fe(s) = 1- Tfo-fe(s) = (Gp:) s (Gp:) s + 2p·KV·KDF·F(s)
Tfo-Df(s) = fosc(s)/Df(s) = 2p·KV·KDF·F(s)/s
Funciones de transferencia (II) Tfo-Df(s) = 2p·KV·KDF·F(s)/s (Gp:) – (Gp:) Df(s) (Gp:) fosc(s) (Gp:) fe(s) (Gp:) Tfo-Df(s)
(Gp:) Tfo-fe(s) = (Gp:) Tfo-Df(s) (Gp:) 1 + Tfo-Df(s)
(Gp:) fosc(s) (Gp:) vc(s) (Gp:) fe(s)
(Gp:) vc(s) (Gp:) fe(s)
(Gp:) KDF·F(s) (Gp:) Tvc-fe(s) = vc(s)/fe(s) = = (Gp:) 1 + 2p·KV·KDF·F(s)/s (Gp:) KDF·s·F(s) (Gp:) s + 2p·KV·KDF·F(s)
Funciones de transferencia (III) (Gp:) – (Gp:) Df(s) (Gp:) fosc(s) (Gp:) fe(s) (Gp:) Tfo-Df(s)
Condición para que fosc(s) siga a un escalón de fe(s) en régimen permanente: que Df(s) se anule en régimen permanente Escalón en fe(s): fe(s) = fe1/s Entonces: Df(s) = TDf-fe (s)·fe(s) = TDf-fe (s)· fe1/s ?
Teorema del Valor Final: (Gp:) TDf-fe (s) = (Gp:) s (Gp:) s + 2p·KV·KDF·F(s)
(Gp:) Df(s) = (Gp:) fe1 (Gp:) s + 2p·KV·KDF·F(s)
(Gp:) lim Df(t) = lim s·Df(s) = (Gp:) fe1·s (Gp:) s + 2p·KV·KDF·F(s) (Gp:) t ? ? (Gp:) s ? 0
Funciones de transferencia (IV) Es decir, F(s) no puede tener un cero en cero. Por ejemplo: F(s) = 1/(1+ R·C·s) vale como filtro. (Gp:) lim s·Df(s) = (Gp:) fe1·s (Gp:) s + 2p·KV·KDF·F(s) (Gp:) s ? 0
(Gp:) Para que lim Df(t) ? 0 ? F(s) ? s ·F’(s) (Gp:) t ? ?
(Gp:) C (Gp:) R (Gp:) Entrada (Gp:) Salida (Gp:) F(s)
Funciones de transferencia (V) (Gp:) Tfo-fe(s) = (Gp:) 2p·KV·KDF·F(s) (Gp:) s + 2p·KV·KDF·F(s)
Ejemplo: Kv = 105 Hz/V R·C = 10-6/p s KDF = 1-100 V/rad (Gp:) fosc(s) (Gp:) fe(s) (Gp:) – (Gp:) Tfo-Df(s) (Gp:) Tfo-fe(s)
(Gp:) ?Tfo-fe(wj)? (Gp:) -60 (Gp:) -40 (Gp:) -20 (Gp:) 0 (Gp:) 20 (Gp:) 103 (Gp:) 104 (Gp:) 105 (Gp:) 106 (Gp:) 107 (Gp:) f [Hz]
(Gp:) 10
(Gp:) KDF = 100
(Gp:) KDF = 1
(Gp:) ?F(wj)?
(Gp:) Diagrama de Bode
Funciones de transferencia (VI) (Gp:) fosc(s) (Gp:) fe(s) (Gp:) PLL (Gp:) Tfo-fe(s)
Aplicamos los conceptos de frecuencia instantánea y frecuencia relativa a Fe y a Fosc : d(Fe(t))/dt = We(t) = wosc0 + we(t) d(Fosc(t))/dt = Wosc(t) = wosc0 + wosc(t) siendo: we(t) = d(fe(t))/dt wosc(t) = d(fosc(t))/dt (Gp:) PLL (Gp:) Fe (Gp:) Fosc
Tomamos transformadas de Laplace: we(s) = s·fe(s) wosc(s) = s·fosc(s) Por tanto: Tfo-fe(s) = fosc(s)/fe(s) = wosc(s)/we(s) (Gp:) wosc(s) (Gp:) we(s) (Gp:) PLL (Gp:) Tfo-fe(s)
Respuesta temporal ante un escalón en We(t) (I) (Gp:) wosc(s) (Gp:) we(s) (Gp:) PLL (Gp:) Tfo-fe(s)
(Gp:) PLL (Gp:) We(t) (Gp:) Wosc(t)
(Gp:) Fe (Gp:) t
(Gp:) t (Gp:) Fosc
(Gp:) wosc(s) = Tfo-fe(s)·we(s) = ·we1/s (Gp:) 2p·KV·KDF·F(s) (Gp:) s + 2p·KV·KDF·F(s)
(Gp:) We (Gp:) t (Gp:) we1 (Gp:) wosc0
(Gp:) Wosc (Gp:) t (Gp:) wosc0
we(s) = we1/s
Respuesta temporal ante un escalón en We(t) (II) (Gp:) wosc(s) (Gp:) we(s) (Gp:) PLL (Gp:) Tfo-fe(s)
(Gp:) wosc(s) = ·we1/s (Gp:) 2p·KV·KDF·F(s) (Gp:) s + 2p·KV·KDF·F(s)
(Gp:) KDF = 100
(Gp:) 0 (Gp:) 2 (Gp:) 4 (Gp:) 6 (Gp:) t [ms] (Gp:) we1 (Gp:) wosc(t)
(Gp:) KDF = 1
(Gp:) KDF = 10
(Gp:) F(t)
Ejemplo anterior:
Respuesta temporal ante un escalón en We(t) (III) Resumen de la respuesta ante un escalón en la frecuencia de entrada: Con una simple red RC como filtro, la frecuencia de la señal de salida en régimen permanente es la misma que la de entrada. La rapidez en la respuesta y la sobreoscilación depende del producto KV·KDF. (Gp:) PLL (Gp:) We(t) (Gp:) Wosc(t) (Gp:) We (Gp:) t (Gp:) we1 (Gp:) wosc0 (Gp:) Wosc (Gp:) t (Gp:) wosc0
¿Qué pasa con la fase de la señal de salida del oscilador ante un escalón en la frecuencia de entrada? (Gp:) Fe (Gp:) t
(Gp:) t (Gp:) Fosc (Gp:) ?
Respuesta temporal ante un escalón en We(t) (IV) Aplicando el Teorema del Valor Final: Como: we(s) = we1/s entonces: fe(s) = we(s)/s = we1/s2 (Gp:) lim Df(t) = lim s·Df(s) = lim s·TDf-fe (s)·fe(s) ? (Gp:) t ? ? (Gp:) s ? 0 (Gp:) s ? 0
(Gp:) we1 (Gp:) s + 2p·KV·KDF·F(s) (Gp:) lim Df(t) = lim = (Gp:) t ? ? (Gp:) s ? 0 (Gp:) we1 (Gp:) 2p·KV·KDF·F(0)
(Gp:) Luego si queremos que lim Df(t) = 0, entonces KV·KDF·F(0) ??? Es decir, hace falta un elemento con ganancia infinita en continua (por ejemplo, en el filtro). (Gp:) t ? ?
Conceptos de Orden y de Tipo de un PLL (Gp:) – (Gp:) Df(s) (Gp:) fosc(s) (Gp:) fe(s) (Gp:) Tfo-Df(s)
(Gp:) Tfo-fe(s) = (Gp:) Tfo-Df(s) (Gp:) 1 + Tfo-Df(s)
Tfo-fe(s) = fosc(s)/fe(s) Tfo-Df(s) = fosc(s)/Df(s) = = 2p·KV·KDF·F(s)/s Orden: Número de polos de Tfo-fe(s) Tipo: Número de polos en s = 0 de Tfo-Df(s)
Ejemplo de la determinación del Orden y de Tipo de un PLL Ejemplo: Red RC como filtro: F(s) = 1/(1+ R·C·s) (Gp:) Tfo-fe(s) = = (Gp:) 2p·KV·KDF·F(s) (Gp:) s + 2p·KV·KDF·F(s) (Gp:) 2p·KV·KDF (Gp:) R·C·s2 + s + 2p·KV·KDF
(Gp:) Orden 2 (2 polos)
(Gp:) Tfo-Df(s) = 2p·KV·KDF·F(s)/s = (Gp:) 2p·KV·KDF (Gp:) s·(1+ R·C·s)
(Gp:) Tipo 1 (1 polo en s = 0)
Como siempre la función de transferencia del integrador tiene un polo en cero, el Tipo mínimo posible es 1.
Relación entre el Orden y de Tipo de un PLL La función Tfo-Df(s) se puede escribir como: Tfo-Df(s) = PN(s)/PD(s) = PN(s)/(sn·P’D(s)) siendo PN(s) y PD(s) los polinomios del numerador y del denominador y P’D(s) la parte del polinomio del denominador sin ceros en cero. Por tanto: (Gp:) Tfo-fe(s) = = = (Gp:) Tfo-Df(s) (Gp:) 1 + Tfo-Df(s) (Gp:) PN(s)/(sn·P’D(s)) (Gp:) 1 +PN(s)/(sn·P’D(s)) (Gp:) PN(s) (Gp:) sn·P’D(s) + PN(s)
Luego el Orden (número de polos de Tfo-fe(s)) ha de ser mayor o igual que Tipo (número de polos en s = 0 de Tfo-Df(s), es decir, n.
PLL de Orden 1 y de Tipo 1 (I) Filtro: El filtro es un amplificador de ancho de banda infinito (no es, por tanto, un filtro) ? F(s) = F1 Siendo: t = 1/(2p·KV·KDF·F1) (Gp:) Tfo-fe(s) = = (Gp:) 2p·KV·KDF·F1 (Gp:) s + 2p·KV·KDF·F1 (Gp:) 1 (Gp:) t·s +1
Sistema de primer orden (Gp:) PLL (Gp:) We(t) (Gp:) Wosc(t)
(Gp:) We (Gp:) t (Gp:) we1 (Gp:) wosc0
Escalón en la frecuencia de entrada: we(s) = we1/s ? wosc(s) = we1/(s·(t·s +1))
PLL de Orden 1 y de Tipo 1 (II) Respuesta de la frecuencia relativa del oscilador ante un escalón en la frecuencia de entrada: wosc(s) = we1/(s·(t·s +1)) ? wosc(t) = we1(1-e-t/t) (Gp:) we1
(Gp:) t = 10ms
(Gp:) t = 1ms
(Gp:) 0 (Gp:) 20 (Gp:) 40 (Gp:) 60 (Gp:) t [ms] (Gp:) wosc(t)
PLL de Orden 1 y de Tipo 1 (III) Diferencia de fases entre las señales de entrada y salida ante escalón en la frecuencia de entrada: (Gp:) 0 (Gp:) 20 (Gp:) 40 (Gp:) 60 (Gp:) t [ms] (Gp:) Df(t)
Como: we(s) = we1/s, entonces: fe(s) = we1/s2 Como: TDf-fe(s) = t·s/(t·s + 1), entonces: Df(s) = TDf-fe(s)·fe(s) ? Df(s) = t·we1/(s·(t·s +1)) ? Df(t) = t·we1(1-e-t/t) (Gp:) t2 = 10ms (Gp:) t2·we1
(Gp:) t1 = 1ms (Gp:) t1·we1
PLL de Orden 1 y de Tipo 1 (IV) Respuesta de la frecuencia relativa del oscilador ante un escalón en la fase de entrada: (Gp:) 0 (Gp:) 5 (Gp:) 7,5 (Gp:) 10 (Gp:) t [ms] (Gp:) wosc(t)
(Gp:) t2 = 10ms (Gp:) fe1/t2
(Gp:) t1 = 1ms (Gp:) fe1/t1
(Gp:) PLL (Gp:) Fe(t) (Gp:) Wosc(t)
(Gp:) Fe (Gp:) t
fe(s) = fe1/s ? we(s) = s·fe(s) = fe1 ? wosc(s) = fe1/(t·s +1) ? wosc(t) = (fe1/t)·e-t/t
PLL de Orden 1 y de Tipo 1 (V) Diferencia de fases entre las señales de entrada y salida ante escalón en la fase de entrada: Como: fe(s) = fe1/s y TDf-fe(s) = t·s/(t·s + 1), entonces: Df(s) = TDf-fe(s)·fe(s) = t·fe1/(t·s +1) ? Df(t) = fe1·e-t/t (Gp:) fe1
(Gp:) t = 10ms
(Gp:) t = 1ms
(Gp:) 0 (Gp:) 20 (Gp:) 40 (Gp:) 60 (Gp:) t [ms] (Gp:) Df(t)
PLL de Orden 1 y de Tipo 1 (VI) La diferencia de fases entre las señales de entrada y salida acaba anulándose y la frecuencia de ambas señales coincidiendo (Gp:) Fe (Gp:) t
(Gp:) ve =Vesen(Fe) (Gp:) PLL (Gp:) vosc=Voscsen(Fosc)
Evolución de las señales ante un escalón en la fase de entrada:
(Gp:) ve
(Gp:) vosc
(Gp:) Escalón en la fase fe1 = p/2
(Gp:) Df
PLL de Orden 1 y de Tipo 1 (VII) Es necesario que exista diferencia de fases en régimen permanente para que cambie la frecuencia de salida de tal forma que la frecuencia de ambas señales coincidan. (Gp:) ve =Vesen(Fe) (Gp:) PLL (Gp:) vosc=Voscsen(Fosc)
Evolución de las señales ante un escalón en la frecuencia de entrada:
(Gp:) Escalón en la frecuencia we1 = 0,25 wosc0
(Gp:) We (Gp:) t (Gp:) we1 (Gp:) wosc0
(Gp:) vosc
(Gp:) ve
(Gp:) Df
(Gp:) Df(?)
PLL de Orden 2 y de Tipo 1 (I) Filtro F(s) usado: F(s) = (1+s/wZ)/(1+s/wP) (Gp:) F(s) (Gp:) Salida (Gp:) C (Gp:) R1 (Gp:) Entrada (Gp:) R2
F(s) = (1+ R2·C·s)/[1+ (R1 + R2)·C·s] tiene un polo y un cero, siendo: wZ = 1/(R2·C) y wp = 1/[(R1+R2)·C)] (Gp:) Tfo-Df(s) = 2p·KV·KDF·F(s)/s = (Gp:) 2p·KV·KDF·(1+R2·C·s) (Gp:) s·[1+(R1+R2)·C·s]
(Gp:) Tipo 1 (1 polo en s = 0)
PLL de Orden 2 y de Tipo 1 (II) (Gp:) Tfo-Df(s) = (Gp:) 2p·KV·KDF·(1+R2·C·s) (Gp:) s·[1+(R1+R2)·C·s]
(Gp:) Tfo-fe(s) = (Gp:) Tfo-Df(s) (Gp:) 1 + Tfo-Df(s)
(Gp:) Tfo-fe(s) = (Gp:) 2p·KV·KDF·(1+R2·C·s) (Gp:) s·[1+(R1+R2)·C·s] + 2p·KV·KDF·(1+R2·C·s)
(Gp:) Tfo-fe(s) = (Gp:) 2p·KV·KDF·(1+R2·C·s) (Gp:) (R1+R2)·C·s2 + (1+ 2p·KV·KDF·R2·C)·s + 2p·KV·KDF
(Gp:) ·s2 + ·s +1 (Gp:) Tfo-fe(s) = (Gp:) 1+R2·C·s (Gp:) 2p·KV·KDF (Gp:) 2p·KV·KDF (Gp:) (R1+R2)·C (Gp:) 1+ 2p·KV·KDF·R2·C
(Gp:) Orden 2 (2 polos)
PLL de Orden 2 y de Tipo 1 (III) (Gp:) ·s2 + ·s +1 (Gp:) Tfo-fe(s) = (Gp:) 1 + R2·C·s (Gp:) 2p·KV·KDF (Gp:) 2p·KV·KDF (Gp:) (R1+R2)·C (Gp:) 1+ 2p·KV·KDF·R2·C
(Gp:) s2/(wp·K) + s·(1+K/wZ)/K + 1 (Gp:) Tfo-fe(s) = (Gp:) 1 + s/wZ (Gp:) Reagrupando términos:
siendo: wZ = 1/(R2·C), wp = 1/[(R1+R2)·C)] y K = 2p·KV·KDF Escalón en la frecuencia de entrada: we(s) = we1/s ? (Gp:) s·(s2/(wp·K) + s·(1+K/wZ)/K + 1) (Gp:) wosc(s) = (Gp:) (1 + s/wZ)·we1
PLL de Orden 2 y de Tipo 1 (IV) Ejemplo: K = 105-107 Hz/rad wp = 106p rad/s wZ = 5·106p rad/s (Gp:) K = 105
(Gp:) K = 106
(Gp:) K = 107
(Gp:) 0 (Gp:) 2 (Gp:) 4 (Gp:) 6 (Gp:) t [ms] (Gp:) we1 (Gp:) wosc(t) (Gp:) wZ = 5·106p rad/s wZ = ?
(Gp:) wZ ? ?
(Gp:) wZ = ?
Con wZ ? ? existe más posibilidad de optimizar la respuesta dinámica.
PLL de Orden 2 y de Tipo 2 (I) Filtro F(s) usado: F(s) = wP·(1+s/wZ)/s F(s) = [1+ (R1 + R2)·C·s]/(R1·C·s) tiene un polo en cero y un cero, siendo: wZ = 1/[(R1+R2)·C] y wP = 1/(R1·C) (Gp:) Tfo-Df(s) = 2p·KV·KDF·F(s)/s = (Gp:) 2p·KV·KDF·[1+(R1+R2)·C·s] (Gp:) s2·R1·C
(Gp:) Tipo 2 (2 polos en s = 0)
PLL de Orden 2 y de Tipo 2 (II) (Gp:) Tfo-fe(s) = (Gp:) Tfo-Df(s) (Gp:) 1 + Tfo-Df(s)
(Gp:) Tfo-fe(s) = (Gp:) 2p·KV·KDF·[1+(R1+R2)·C·s] (Gp:) s2·R1·C + 2p·KV·KDF·[1+(R1+R2)·C·s]
(Gp:) Tfo-fe(s) = (Gp:) 2p·KV·KDF·[1+(R1+R2)·C·s] (Gp:) R1·C·s2 + 2p·KV·KDF·(R1+ R2)·C·s + 2p·KV·KDF
(Gp:) Orden 2 (2 polos)
(Gp:) 2p·KV·KDF·[1+(R1+R2)·C·s] (Gp:) Tfo-Df(s) = (Gp:) s2·R1·C
(Gp:) Tfo-fe(s) = (Gp:) 1 + (R1+R2)·C·s (Gp:) ·s2 + (R1+ R2)·C·s + 1 (Gp:) 2p·KV·KDF (Gp:) R1·C
PLL de Orden 2 y de Tipo 2 (III) (Gp:) s2/(wp·K) + s/wZ + 1 (Gp:) Tfo-fe(s) = (Gp:) 1 + s/wZ (Gp:) Reagrupando términos:
siendo: wZ = 1/[(R1+R2)·C], wP = 1/(R1·C) y K = 2p·KV·KDF (Gp:) Tfo-fe(s) = (Gp:) 1 + (R1+R2)·C·s (Gp:) ·s2 + (R1+ R2)·C·s + 1 (Gp:) 2p·KV·KDF (Gp:) R1·C
EL resultado es semejante al obtenido en el PLL de Orden 2 y Tipo 1 anterior. Luego se puede optimizar de igual forma la respuesta dinámica. La ventaja es que al ser de Tipo 2 se anula la diferencia de fases en régimen permanente ante un escalón de frecuencia. (Gp:) s2/(wp·K) + s·(1+K/wZ)/K + 1 (Gp:) Tfo-fe(s) = (Gp:) 1 + s/wZ (Gp:) Resultado anterior
PLL de Orden 2 y de Tipo 2 (IV) F(s) = – [1+ R2·C·s]/(R1·C·s) ? F(s) = – wP·[1+ s/wZ]/s, siendo: wZ = 1/(R2·C) y wP = 1/(R1·C) Otra forma de realizar un PLL de Orden 2 y Tipo 2: (Gp:) s2/(-wp·K) + s/wZ + 1 (Gp:) Tfo-fe(s) = (Gp:) 1 + s/wZ (Gp:) Procediendo como en el caso anterior:
Para que salga lo mismo que en el caso anterior, K tiene que ser negativa. Como K = 2p·KV·KDF o bien KV < 0 o KDF < 0. En caso contrario, el PLL sería inestable, al menos que el detector de fases cambie el signo de KDF en función de la diferencia de fases.
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