Demostración Sencilla del Ultimo Teorema de Fermat – Posible Demostración maravillosa de la que hablaba Pierre de Fermat
Autor: Nilton Raúl Olivares Ramírez [email protected] Lima – Perú 2009
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PRELIMINAR
Teorema de Fermat: (en general) xn ± yn = zn x, y, z pertenecen a los naturales (incluyendo el cero), n pertenece a los naturales (sin incluir el cero) Para:
Entonces: “No existen soluciones enteras para n > 2.”
simplificándolo:
caso a: xn + yn = zn an = bn + cn caso b: xn – yn = zn xn = zn + yn entonces adoptamos solo la forma general (que es más usada):
xn + yn = zn
x, y, z pertenecen a los naturales (incluyendo el cero), n pertenece a los naturales sin incluir el cero) y para esta: “No existen soluciones enteras para n > 2.”
DEMOSTRACION
1) xn + yn = zn :
Existirán los siguientes casos:
a) cuando n < 2:
a.1) n = 1
x+y=z
(soluciones infinitas)
a.2) cuando n = 2
x2 + y2 = z2
(sus soluciones son las llamadas ternas ternas pitagóricas)
es el caso del ley de cósenos:
x2 + y2 – 2xycosa = z2
cuando cosa = 0 , a = 90º
b) cuando n > 2: xm+2 + ym+2 = zm+2 donde m pertenece a los naturales (sin incluir el cero)
Para este caso el Teorema de Fermat dice que no hay soluciones enteras (una de ellas debe ser nula). A continuación veremos este caso, que es el que nos interesa para la demostración.
2) Caso b:
cuando n > 2:
xm+2 + ym+2 = zm+2
donde m pertenece a los naturales (sin incluir el cero)
Este caso lo subdivirémos en tres sub-casos: b.1) cuando: x+yz (x + y)m+2 > zm+2
xm+2 + ym+2 + f > zm+2
Este caso puede cumplir que:
xm+2 + ym+2 = zm+2
Pero aún no podemos determinar si habrán soluciones enteras.
A hora veremos si hay soluciones enteras:
Sí: x+y>z
Geométricamente: y x z
(como se ve en el anexo 1: x < y < z , además se demuestra en el anexo 2 que x, y, z son lados de un triángulo)
Aunque visualmente nos podemos dar cuenta que x, y, z formarán el triángulo:
Gráfico 1
donde z es el lado mayor.
Entonces x, y, z cumplen los teoremas de los triángulos.
Uno de esos teoremas de los triángulos es la llamada Ley de cósenos:
Ley de cósenos: Gráfico 2
x2 + y2 – 2xycosa = z2 Por lo tanto x, y, z cumplen las siguientes ecuaciones: x2 + y2 – 2xycosa = z2 …(a) ecuaciones xm+2 + ym+2 = zm+2 …(b) Ahora acomodaremos las ecuaciones:
ecuación a: Gráfico 3 x2 + y2 – 2xycosa = z2
cosa = e y
entonces:
y2 + x2 – 2xy e = z2 y h es altura respecto a lado y2 + x2 – 2xe = z2 0=e=x y2 + x (x – 2e) = z2
y2 + x2 (x – 2e) = z2 x
ecuación b:
xm+2 + ym+2 = zm+2
ym+2 + xm+2 = zm+2 zn
y2 yn + x2 xn = z2 zn zn Luego de haber acomodado las ecuaciones las comparamos:
y2 + x2 (x – 2e) = z2 ecuaciones x
y2 yn + x2 xn = z2 zn zn Estas dos ecuaciones cumplen para las mismas variables x, y, z ; entonces los factores respectivos de cada variable son equivalentes.
Igualando factores:
factores de y2: zn = yn
xn+2 = 0 z= y
x= 0 yn = 1 zn
zn+2 = yn+2 + xn+2 entonces:
zn+2 = zn+2 + xn+2
factores de x2:
x – 2e = xn zn x
zn = xn+1 x – 2e pero sabemos de la comparación de factores de y2 que x = 0, además 0 = e = x e = 0 también.
Reemplazando x = 0 , e = 0 :
0 – 2 x 0 zn = 0n+1
0. zn = 0
0=0
ya que x = 0 , z= y entonces surge una contradicción:
El caso es: b.3) cuando: x+y>z pero si: x = 0 , z= y
entonces: 0 + y > z
y>z
pero sabemos que: y < z (anexo 1) Entonces esta contradicción me dice el caso b.3 no cumple y por tanto no tiene raíces enteras ni nulas.
No cumple porque z debe ser igual a y (caso b.2, con sus soluciones), no mayor que y ; solo así se evita la contradicción y en tal caso se cumple la ley de cosenos como sigue:
x2 + y2 – 2xycosa = z2
02 + y2 – 2(0)ycos0º = z2
y2 – 2(0)y = z2
y2 = z2
y=z
por lo tanto debe ser una recta (caso b.2) y no un triángulo.
CONCLUSION De todo lo anterior, podemos concluir que: 1) El caso a tiene soluciones enteras y nulas, lo cual es conocido en el ámbito matemático. 2) El caso b, que presenta tres sub-casos, solo tiene soluciones en el sub-caso b.2 y estas presentan al menos una variable nula o todas nulas. "Por lo tanto las soluciones para xn + yn = zn cuando n sea mayor que 2 (siendo x,y,z números naturales) no serán enteras sino que al menos una de ellas será nula o todas nulas, como se quería demostrar". “El Teorema de Fermat queda demostrado” Nilton Raúl Olivares Ramírez (6:43 pm – miércoles 01/07/2009) ¡Gracias, Señor Jesús!
ANEXO 1) xx
2x + y + z > x + y
Entonces operamos:
2x + y + z > x + y
x+z>0
esto es correcto porque x, z pertenecen a los naturales y son distintos, porque si: x + y > z …(caso b.3) z>y …(ecuación d) suponiendo que:
entonces:
por lo tanto: y=0
z>0
x+z>0
De esto deducimos que x, y, z pueden ser tomados como lados de un triángulo y por lo tanto cum
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