INTRODUCCIÓN: En el estudio de la descomposición de fracciones racionales en fracciones parciales, es importante analizar diferentes características involucradas en ellos. Ayuda en este sentido el concepto de fracción propia y el proceso de factorización de polinomios. En la siguente presentación se selecciona un grupo de ejercicios que abarcan en general los diferentes casos en la descomposición de una fracción en fracciones simples.
2 El estudiante en los cursos tradicionales de matemática realiza la operación de sumar dos o más fracciones, ejemplo: (Gp:) Sumar
3 Es frecuente que en cursos de cálculo, sea conveniente poder invertir este proceso, es decir, ser capaz de expresar una fracción como la suma de dos o más expresiones racionales más simples denominadas fracciones parciales, ejemplo: (Gp:) Descomposición en fracciones simples
4 Para tener éxito en este proceso, estableceremos algunas preliminares: Polinomios – Los polinomios son expresiones de la forma:
5 Igualdad de polinomios son iguales si y solo si sus grados son iguales (n = m) y sus coeficientes también, es decir: Dos polinomios
6 Ejemplo: (A + 2 B) X + B = 5 X – 3 A + 2 B=5 B=–3 A + 2 (–3)=5 A = 11 Si: P(x) = (A + 2 B) X y Q (x) = 5 X – 3 Entoncés, P(x) = Q (x)
7 Fracción de la forma: ax2+bx+c (irreducible) polinomio de grado dos m y n son números naturales px+q polinomio de grado uno A y B son números reales Fracción simple
8 Fracción racional Teóricamente cualquier función racional se puede descomponer en suma de fracciones simples f(x) y g(x) son polinomios de cualquier grado
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10 Fracción propia Si la fracción es propia se descompone en suma de fracciones simples, de la siguiente manera: Cada término Fk de la suma es de la forma:
11 1) Descomponer el denominador g(x) en un producto de factores: lineales cuadráticos irreducibles lineales y cuadráticos 2) Por cada factor de la forma (p x + q)m, m=1. La descomposición en fracciones simples contiene una suma de m fracciones simples de la forma: Por cada factor de la forma (ax2+bx+c)n, n=1. La descomposición en fracciones simples contiene una suma de n fracciones simples de la forma 3) Los restantes pasos se explican directamente en los ejemplos resueltos DESARROLLO: Pasos para descomponer una fracción propia en suma de fracciones simples
12 Ejemplos Descomponer en fracciones simples: Paso 1: Factorizar el denonimador Paso 2: Descomponer en suma de fracciones (Factores lineales que no se repiten)
13 Paso 3: Calcular las constantes A y B Efectuamos la suma Como los denominadores son iguales, los numerados deben serlo también: Aplicando la igualdad de polinomios tenemos: Resolviendo el sistema, obtenemos: A = 5 y B = 2 Solución:
14 El procedimiento introducido en este ejemplo se llama método de los coeficientes indeterminados, pues se introducen coeficientes que no se conocen y cuyo valor se determina aplicando la definición de igualdad. Otra variante de solución: Como la ecuación es una identidad, debe cumplirse para todos los valores de x, en particular si se hace:
15 Para calcular B como no tenemos más ceros, damos a la x un valor cualquiera. Normalmente hacemos (x = 0) que es lo más sencillo. Solución: (Factores lineales repetidos)
(Factores cuadráticos que no se repiten) Igualando los numeradores, obtenemos: Aplicando la igualdad de polinomios tenemos:
17 A = 0 C = 0 B = – 3 D = 3 Solución: Otra vía de solución, es emplear la utilizada en los dos primeros incisos. Como el denominador no tiene ceros, para calcular el valor de las constantes, le damos a la variable x valores convenientes *INTENTELO* Solución del sistema planteado
Igualando los numeradores, obtenemos: Aplicando la igualdad de polinomios tenemos:
Igualando los numeradores, obtenemos: Aplicando la igualdad de polinomios tenemos:
Fracción impropia Efectuamos la división y se obtiene un polinomio y una fracción propia que escribimos en la forma deseada Ejemplo:
21 Se divide el numerador f(x) entre el denominador g(x), obtenemos:
22 Para descomponer se debe prestar gran atención al tipo de Fracción Conclusiones:
23 Estudio Independiente Descomponer las siguientes fracciones en fracciones simples:
24 Soluciones