Resumen
La comprensión de un universo abstracto y relativo se torna habitualmente complicada. Basamos este artículo en la búsqueda de un método que estuviera a la altura de los estudiantes de pre-universitario; un método que les permita llegar al entendimiento lógico-matemático de la cuestión que se aborda.
Se trabajó principalmente en la confección de un método físico-lógico que conduce al estudiante a la obtención de las ecuaciones que le serán de ayuda para la comprensión matemática de la elasticidad espacio – tiempo. Al final del estudio se obtuvieron dos ecuaciones para calcular dicha elasticidad; ecuaciones sumamente interesantes que se derivan del análisis de un problema teórico que surge de una supuesta situación de la vida cotidiana.
Palabras clave: Elasticidad, espacio, tiempo, relatividad, física, lógica.
Introducción
Un cohete viaja rectilíneamente a una velocidad de 200"000 km/s y recorre un espacio de 10"000"000 km. ¿Cuánto demora el cohete en llegar a su destino?
Donde:
v = velocidad
s = espacio
t = tiempo
Despejando la ecuación anterior obtenemos:
t = 50 segundos
Podemos afirmar entonces que el cohete recorre dicho espacio en 50 segundos exactamente.
Resultó que el cohete despegó exactamente a las 9:00:00 AM, y manteniendo dicha velocidad constante, desde su partida hasta su destino, las mediciones efectuadas desde la tierra afirmaron la veracidad de nuestros cálculos; el cohete llegó a su destino a la 9:00:50 AM. El problema surge cuando los relojes de la nave y del conductor afirmaban la llegada a las 9:00:37 AM, es decir, 13 segundos antes que el resultado obtenido anteriormente.
¿Existirá algún problema en la medición?
Debemos tener en cuenta que nuestros cálculos afirman que dicho cohete mantiene una velocidad de 200"000 km/s desde que parte. Esto es imposible, debido a que aunque la tecnología estuviera lo suficientemente desarrollada para alcanzar tal velocidad, sería absurdo pensar que un cuerpo pudiera alcanzarla en un instante tan pequeño que llegara a ser insignificante matemáticamente. En nuestro problema despreciamos el tiempo que el cohete debiera invertir en alcanzar dicha velocidad, y comprenderemos el hecho teniendo en cuenta que tanto en los cálculos, como en las supuestas mediciones, el cohete parte a dicha velocidad (200"000 km/s).
En la vida cotidiana, no interactuamos con velocidades tan elevadas y la elasticidad espacio – tiempo es imperceptible. La cuestión radica en que los relojes en movimiento se atrasan con respecto a los relojes que se encuentran en reposo. Cuando nos referimos a los relojes, hablamos del tiempo en sí, del tiempo transcurrido, y despreciamos las inexactitudes que puedan tener por cualquier razón.
¿Cómo entender tal fenómeno?
Desarrollo
Supongamos que un tren viaja a una velocidad cercana a la de la luz. Uno de los pasajeros sentados en el interior del tren proyecta una luz desde el suelo del tren, hasta un espejo que se encuentra en el techo del mismo. La luz viaja formando una línea recta desde el suelo hasta el techo, y desde el techo hasta el suelo, debido al espejo antes mencionado (Fig. 1). Los que observen al tren desde el andén, no verán el recorrido de la luz de la misma forma que lo observa el pasajero que realiza la proyección (Fig. 2).
Se puede ver claramente como los rayos de luz se desplazan desde el punto de vista de los observadores del andén. Es lógico además, pensar que la distancia que recorre la luz no es igual en ambos casos. Para los observadores del andén, la luz recorrió un espacio mayor y tardó un tiempo mayor en recorrer dicho espacio.
Analizando en triángulo formado en la Figura 3, podemos observar que AC representa la distancia recorrida por el tren en un intervalo. BD representa la altura del tren y la distancia recorrida por la luz desde el punto de vista del pasajero.
Para comprender de una forma más sencilla, vamos a darle a nuestro problema valores arbitrarios.
Supongamos que los observadores del andén establecieron que entre el envío y el regreso del rayo de luz trascurrieron 10 segundos. Siendo la velocidad de la luz 300"000 km/s, es fácil determinar que la distancia de los segmentos AB + BC se puede calcular de la siguiente forma: 300"000 km/s x 10 segundos = 3"000"000 km. Siendo el triángulo ABC un triangulo isósceles AB = 1"500"000 km y BC = 1"500"000 km. Podemos determinar la distancia del segmento AC pues conocemos que ese lado representa la distancia que recorrió el tren en 10 segundos. Moviéndose este a una velocidad de 240"000 km/s, la distancia del segmento AC se calcula: 10 segundos x 240"000 km/s = 2"400"000 km. La altura del tren la podemos determinar por el teorema de Pitágoras.
La altura del tren equivale a BD, y es extremadamente grande. Podríamos usar un tiempo de intervalo mucho más pequeño para reducir la altura BD hasta igualarla a la de un tren común, pero el resultado sería un número tan pequeño, que dificultaría los cálculos.
Representemos gráficamente los resultados obtenidos hasta el momento:
Calculemos entonces, el tiempo que transcurre para el observador del andén entre la ida y el regreso del rayo de luz (por el reflejo del espejo), tal como se muestra en la figura 5.
(1"500"000 km x 2) / 300"000 km/s = Tiempo en que transcurre para el observador del andén.
= 10 segundos
Podemos calcular el tiempo que demora el rayo de luz en ir y regresar —acordarse del espejo— desde el punto de vista del pasajero que se encuentra dentro del vagón, tal como se muestra en la figura 3 y 2.
(900"000 km x 2) / 300"000 km/s = Tiempo en que la luz recorre dicha distancia.
= 6 segundos
Conclusiones
Podemos afirmar entonces que para el pasajero del tren transcurrió menos tiempo que para el observador del andén. Hay que aclarar que esto no se trata de un fenómeno óptico engañoso, ni de una mala interpretación de la proyección de la luz. Es el fenómeno óptico, y los resultados que este muestra, lo que justifica el hecho. El pasajero que se encontraba en el vagón "observó" la ida y la vuelta del rayo de luz en solo 6 segundos, mientras que para el pasajero del andén esta tardó 10 segundos.
Cabe ahora deducir otra conclusión lógica: Si para el viajero transcurrieron 6 segundos y para el observador 10, ¿recorrió el tren en ambos casos la misma distancia?
La velocidad del tren nunca varió durante el recorrido, por lo tanto, para el observador del andén, el tren recorrió una distancia de 2"400"000 km. Para el viajero, el tren recorrió solamente 1"440"000 km. La distancia se redujo proporcionalmente respecto al tiempo.
Los pasajeros afirman que el andén se redujo, mientras que los observadores afirman que el tren se redujo. Lo mismo, indicarán todos los instrumentos que puedan usarse para realizar esta medición. Cualquier cuerpo que se encuentre en movimiento se reduce en la dirección del movimiento.
Cualquier observador inmóvil, respecto a su reloj, verá que se adelantan los relojes que se desplazan respecto a él, y que esta condición aumenta, a medida que aumente la velocidad con que se mueven.
Mientras más se acerque la velocidad del tren a la velocidad de la luz, más considerable será la diferencia entre dichos relojes.
La contracción de Lorentz es un efecto relativista, que consiste en la contracción del tamaño de un cuerpo a medida que su velocidad se acerca a la velocidad de la luz, esto explica el fenómeno que acabamos de analizar.
Podemos resumir lo visto y llegar a un grupo de conclusiones lógicas:
1. El tiempo para todos los observadores de un fenómeno deja de ser el mismo, es decir, se vuelve relativo.
2. Si tenemos dos observadores haciendo una medición de tiempo; uno inmóvil, y otro que se mueve a velocidades relativistas, los dos relojes no tendrán los mismos resultados.
3. Si el tiempo varía a velocidades relativistas, el espacio también lo hace.
4. Cualquier cuerpo que se encuentre en movimiento se reduce en la dirección del movimiento.
5. Aunque en la vida cotidiana se pone de manifiesto este fenómeno, no tiene mucho sentido su análisis pues las diferencias son extremadamente pequeñas.
6. El tiempo y el espacio no son absolutos, son relativos.
Ahora estamos listos para deducir una ecuación que nos facilite el trabajo.
Observando la Figura 8, podemos llegar a la conclusión lógica: mediante ella, podremos deducir dicha ecuación. Usando la misma, pudimos resolver el ejemplo del tren. Ahora tenemos una figura igual a la 5, solo que en vez de los datos del problema, usaremos variables.
Analicemos primero:
y = espacio recorrido por el tren en un intervalo de tiempo, o intervalo de tiempo en el que el tren recorrió un espacio determinado.
2x = tiempo que demora el rayo de luz en "viajar" el espacio BC + AB (punto de vista del observador del andén) o suma de las hipotenusas BC y AB.
z = tiempo que demora el rayo de luz en "viajar" desde el suelo al techo (espejo), y desde el techo al suelo, o espacio recorrido por la luz en dicho intervalo (dos veces la altura del tren).
Si agrandáramos el triángulo de la Figura 8 lo suficiente, podríamos lograr que dicha representación pudiera explicar todo el recorrido del tren y no un intervalo de este recorrido. Primeramente deduciremos la ecuación que nos permitirá como espectadores inmóviles de un fenómeno, entender dicho fenómeno desde el punto de vista de un viajero.
2x = tiempo que demora el tren en llegar desde un punto a otro (desde nuestro punto de vista como espectadores inmóviles).
y = espacio que recorre el tren en dicho tiempo a una velocidad (v) dada.
z = nuestra incógnita = representa el tiempo que demora el tren en llegar desde un punto a otro (desde el punto de vista viajero). Acordémonos de lo visto anteriormente.
Podemos calcular z fácilmente usando Pitágoras.
Cualquiera de los dos triángulos rectángulos nos servirá, pues ambos iguales. Usaremos el triángulo ABD.
AB2 = BD2 + AD2
AB = hipotenusa
BD = cateto 1
AD = cateto 2
c = velocidad de la luz = 300"000 km/s
v = velocidad del objeto.
1. Si multiplicamos el tiempo que demora el recorrido del objeto – según nuestra medición- por la velocidad de la luz, obtendremos la longitud de los lados AB + BC, que sería igual al espacio que recorrió la luz. Como los lados AB y BC son iguales, entonces dividimos entre 2, para obtener AB o BC.
Con esta ecuación obtendremos fácilmente el lado BD, que representa realmente la altura del tren. Como conocemos que el tiempo para el viajero es igual al recorrido que realiza la luz desde el suelo al techo, y desde el techo al suelo (espejo), es lógico deducir que debemos multiplicar el lado BD por 2, para obtener la distancia suelo – techo, techo – suelo. Si dividimos esa distancia entre c, o sea, entre 300"000 km/s, obtendremos el tiempo en que la luz recorre dicho espacio, lo que equivale a el tiempo resultante para el viajero.
La ecuación los quedaría de la siguiente forma:
Al tener una misma variable repetida, nos veremos en la tarea de simplificar nuestra ecuación por los métodos tradicionales; nos queda de la siguiente forma:
Vamos a sustituir BD por t1.
Donde:
c = 300 000 km/s (constante)
v = velocidad del tren
t = tiempo que demora el recorrido del objeto según nuestra medición (como espectador inmóvil).
Esta ecuación es válida cuando se desea conocer la medición del espectador en movimiento con respecto a nosotros; siendo nosotros espectadores inmóviles.
Si deseáramos conocer la medición de un espectador inmóvil, cuando nosotros somos los que viajamos a velocidades relativistas, deberíamos tomar como incógnita entonces el lado AB o el BC, y realizar las mismas operaciones.
La ecuación sin simplificar quedaría de la siguiente manera:
Conociendo entonces ambas ecuaciones, resultará fácil calcular la elasticidad del espacio, multiplicando los resultados obtenidos mediante estas ecuaciones, por la velocidad con la que se mueve el objeto. Comparando los valores podremos notar la diferencia y comprobar la veracidad del fenómeno.
Conclusiones
La cuestión de la elasticidad tiempo – espacio resulta mucho más complicada cuando se aprecian otros factores, o simplemente cuando este fenómeno se basa en movimientos no rectilíneos uniformes. En estos casos el análisis matemático se encuentra fuera del alcance de los estudiantes de pre-universitario. El método aquí presentado describe los principios de dicho fenómeno, y abre la brecha del entendimiento de estos conceptos, y de la concepción de un mundo relativo.
Bibliografía Consultada
1. Alemañ Berenguer, Rafael Andrés (2004). Relatividad para todos. ISBN 84- 95495-43-0.
2. Alemañ Berenguer, Rafael Andrés (2005). Física para todos. ISBN 84-95495-60-0.
3. Bertrand Russell, El ABC de la relatividad, 1925.
4. Hawking, Stephen; and Ellis, G. F. R. (1973). The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4.
5. Misner, Thorne and Wheeler, Gravitation, Freeman, (1973), ISBN 0-7167-0344-0.
6. Robert M. Wald, General Relativity, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2.
7. Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology: principles and applications of the general theory of relativity, Wiley (1972), ISBN 0-471-92567-5.
Autor:
Enrique Marcet García
Estudiante de Ingeniería Química
Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría. Cuba
Manuel Medell Gago
Estudiante de Ingeniería Química
Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría. Cuba