Definición de mediana
Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.
La mediana se representa por Me.
La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
Cálculo de la mediana
1 Ordenamos los datos de menor a mayor.
2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5
3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.
7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.5
Cálculo de la mediana para datos agrupados
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
es la semisuma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
ai es la amplitud de la clase.
La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.
Ejemplo
Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
| fi | Fi | |
[60, 63) | 5 | 5 | |
[63, 66) | 18 | 23 | |
[66, 69) | 42 | 65 | |
[69, 72) | 27 | 92 | |
[72, 75) | 8 | 100 | |
| 100 |
| |
100/2 = 50
Clase de la mediana: [66, 69)
Definición de media aritmética
La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.
es el símbolo de la media aritmética.
Ejemplo
Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.
Media aritmética para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:
Ejercicio de media aritmética
En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.
| xi | fi | xi · fi | ||
[10, 20) | 15 | 1 | 15 | ||
[20, 30) | 25 | 8 | 200 | ||
[30,40) | 35 | 10 | 350 | ||
[40, 50) | 45 | 9 | 405 | ||
[50, 60 | 55 | 8 | 440 | ||
[60,70) | 65 | 4 | 260 | ||
[70, 80) | 75 | 2 | 150 | ||
|
| 42 | 1 820 | ||
Propiedades de la media aritmética
1. La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la media de la misma igual a cero.
La suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es igual a 0:
8 – 7.6 + 3 – 7.6 + 5 – 7.6 + 12 – 7.6 + 10 – 7.6 =
= 0. 4 – 4.6 – 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0
2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética.
3. Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritmética queda aumentada en dicho número.
4. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media aritmética queda multiplicada por dicho número.
Observaciones sobre la media aritmética
1. La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
2. La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.
3. La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. Si tenemos una distribución con los siguientes pesos:
65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.
La media es igual a 74 kg, que es una medida de centralización poco representativa de la distribución.
4. La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.
| xi | fi | |
[60, 63) | 61.5 | 5 | |
[63, 66) | 64.5 | 18 | |
[66, 69) | 67.5 | 42 | |
[69, 72) | 70.5 | 27 | |
[72, 8 ) |
| 8 | |
|
| 100 | |
En este caso no es posible hallar la media porque no podemos calcular la marca de clase de último intervalo.
Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.
Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.
Q2 coincide con la mediana.
Cálculo de los cuartiles
1 Ordenamos los datos de menor a mayor.
2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión 
Número impar de datos
2, 5, 3, 6, 7, 4, 9
Número par de datos
2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9
Cálculo de los cuartiles para datos agrupados
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra en la tabla de las frecuencias acumuladas.
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el cuartil.
N es la suma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase del cuartil.
ai es la amplitud de la clase.
Ejercicio de cuartiles
Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla:
| fi | Fi | ||
[50, 60) | 8 | 8 | ||
[60, 70) | 10 | 18 | ||
[70, 80) | 16 | 34 | ||
[80, 90) | 14 | 48 | ||
[90, 100) | 10 | 58 | ||
[100, 110) | 5 | 63 | ||
[110, 120) | 2 | 65 | ||
| 65 |
| ||
Cálculo del primer cuartil
Cálculo del segundo cuartil
Cálculo del tercer cuartil
Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.
Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%… y al 90% de los datos.
D5 coincide con la mediana.
Cálculo de los deciles
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra 
en la tabla de las frecuencias acumuladas.
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el decil.
N es la suma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase el decil..
ai es la amplitud de la clase.
Ejercicio de deciles
Calcular los deciles de la distribución de la tabla:
| fi | Fi | ||
[50, 60) | 8 | 8 | ||
[60, 70) | 10 | 18 | ||
[70, 80) | 16 | 34 | ||
[80, 90) | 14 | 48 | ||
[90, 100) | 10 | 58 | ||
[100, 110) | 5 | 63 | ||
[110, 120) | 2 | 65 | ||
| 65 |
| ||
Cálculo del primer decil
Cálculo del segundo decil
Cálculo del tercer decil
Cálculo del cuarto decil
Cálculo del quinto decil
Cálculo del sexto decil
Cálculo del séptimo decil
Cálculo del octavo decil
Cálculo del noveno decil
Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.
Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%… y al 99% de los datos.
P50 coincide con la mediana.
Cálculo de los percentiles
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra 
en la tabla de las frecuencias acumuladas.
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el percentil.
N es la suma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase del percentil.
ai es la amplitud de la clase.
Ejercicio de percentiles
Calcular el percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla:
| fi | Fi | ||
[50, 60) | 8 | 8 | ||
[60, 70) | 10 | 18 | ||
[70, 80) | 16 | 34 | ||
[80, 90) | 14 | 48 | ||
[90, 100) | 10 | 58 | ||
[100, 110) | 5 | 63 | ||
[110, 120) | 2 | 65 | ||
| 65 |
| ||
Percentil 35
Percentil 60
Desviación respecto a la media
La desviación respecto a la media es la diferencia en valor absoluto entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética.
Di = |x – x|
Desviación media
La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.
La desviación media se representa por 
Ejemplo
Calcular la desviación media de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Desviación media para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:
Ejemplo
Calcular la desviación media de la distribución:
| xi | fi | xi · fi | |x – x| | |x – x| · fi | ||||
[10, 15) | 12.5 | 3 | 37.5 | 9.286 | 27.858 | ||||
[15, 20) | 17.5 | 5 | 87.5 | 4.286 | 21.43 | ||||
[20, 25) | 22.5 | 7 | 157.5 | 0.714 | 4.998 | ||||
[25, 30) | 27.5 | 4 | 110 | 5.714 | 22.856 | ||||
[30, 35) | 32.5 | 2 | 65 | 10.174 | 21.428 | ||||
|
| 21 | 457.5 |
| 98.57 | ||||
Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras.
Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran número de datos, y que se han agrupado en clases.
En el eje abscisas se construyen unos rectángulos que tienen por base la amplitud del intervalo, y por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo.
La superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados.
Polígono de frecuencia
Para construir el polígono de frecuencia se toma la marca de clase que coincide con el punto medio de cada rectángulo.
Ejemplo
El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla:
| ci | fi | Fi | ||
[50, 60) | 55 | 8 | 8 | ||
[60, 70) | 65 | 10 | 18 | ||
[70, 80) | 75 | 16 | 34 | ||
[80, 90) | 85 | 14 | 48 | ||
[90, 100) | 95 | 10 | 58 | ||
[100, 110) | 110 | 5 | 63 | ||
[110, 120) | 115 | 2 | 65 | ||
|
| 65 |
| ||
Histograma y polígono de frecuencias acumuladas
Si se representan las frecuencias acumuladas de una tabla de datos agrupados se obtiene el histograma de frecuencias acumuladas o su correspondiente polígono.
Histogramas con intervalos de amplitud diferente
Para construir un histogramas con intervalo de amplitud diferente tenemos que calcular las alturas de los rectángulos del histograma.
hi es la altura del intervalo.
fi es la frecuencia del intervalo.
ai es la amplitud del intervalo.
Ejemplo
En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos.
| fi | hi | |
[0, 5) | 15 | 3 | |
[5, 7) | 20 | 10 | |
[7, 9) | 12 | 6 | |
[9, 10) | 3 | 3 | |
| 50 |
| |
Autor:
Roberto Bac Yat
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