Problemas resueltos de desigualdades y programación lineal

CURSO DE INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL DE QUÍMICO BIÓLOGO, POR DR. JOSÉ LUIS DÍAZ GÓMEZ

Desigualdades

I. Desigualdades. 0. Introducción. 2 tradicionales de las matemáticas. Pero es casi de la misma importancia en cálculo saber 2 desigualdad es encontrar el conjunto de todos los números reales que la hacen verdadera. En contraste con una ecuación, cuyo conjunto solución, en general, consta de un número o quizá un conjunto finito de números, el conjunto solución de una desigualdad por lo común consta de un intervalo completo de números o, en algunos casos, la unión de tales intervalos. 1. Propiedades de las desigualdades. Dados dos números reales, siempre podemos compararlos y decidir si son iguales o cuál es más grande. Escribimos a < b para decir que a es menor que b y a ? b para decir que a es menor o igual que b. En la recta, a < b significa que el punto correspondiente a a está a la izquierda del que corresponde a b. a b El orden en los números reales tiene las siguientes propiedades: 1. Si a y b son números reales, sucede una y sólo una de las siguientes relaciones (propiedad de tricotomía): i) a = b; ii) a > b; iii) a < b a b c 2. Si a < b y b < c, entonces a < c (propiedad transitiva). 3. Si a < b y c ? IR, entonces a + c < b + c. a b a+c b+c c c 4. Si a < b, y c > 0 entonces ac < bc a b ac bc 5. Si a < b, y c < 0 entonces ac > bc. Podemos tener los tres casos siguientes. b -bc -ac 0 a -bc ? -ac ac -a -b 0 bc bc ? ac ac -bc -a 0 b -bc ? ac 2. Intervalos. Definición: Dados dos números a, b en IR, con a menor que b, el intervalo definido por a y b es el conjunto de números x en IRque están entre a y b. Los puntos a y b pueden o no pertenecer al intervalo, entonces podemos tener los siguientes casos: 1. Si a y b pertenecen al intervalo, éste se llama intervalo cerrado y escribimos: [a, b] = {x ? IR? a ? x ? b}. [ ] a b 2. Si a y b no pertenecen al intervalo, éste se llama intervalo abierto y escribimos: (a, b) = {x ? IR? a < x < b} ( a ) b 3. Si alguno de los extremos, pero no ambos, pertenece al intervalo tenemos estos dos casos

+ ? ???8x?> ? ??4? ,???. ? (intervalos semiabiertos o semicerrados): ) [ ( ] a b a b La noción de intervalo se puede extender, para denotar al conjunto de las x ? IRque son más grandes o más chicas que un número dado. Por ejemplo, para denotar al conjunto { x ? IR? x > a} escribimos (a, + ? ). Los siguientes conjuntos son intervalos: (a, + ?) = { x ? IR? x > a}

[a, + ?) = { x ? IR? x ? a} a ( a [ ¥

+¥ ( – ?, b) = {x ? IR? x < b }

( – ?, b] = {x ? IR? x ? b } -¥

-¥ ) b ] b -¥ +¥ ( – ?, +?) = IR

3. Problemas de desigualdades resueltos. Resolver una desigualdad significa determinar el conjunto de números x para los cuales la desigualdad es cierta. A este conjunto de números se le llama conjunto solución. 2. Resuelva la desigualdad 2 + x < 9 x + 6 y dibuje la gráfica de la solución en la línea recta. Solución. La desigualdad es válida para algunos valores de x, pero para otros no. Para encontrar los valores para los cuales es válida utilizaremos las propiedades mostradas en los apartados 1 y 2. Para ello despejaremos la x en la parte izquierda de la desigualdad. En primer lugar restamos -2 a ambos lados de la desigualdad (usando la propiedad 3 con c = -2): Luego se resta 9x de ambos miembros (usando la propiedad 3 con c = – 9x): Ahora multiplicamos ambos miembros por (- 1/8) (propiedad 5 con c = -1/8). Observa que al multiplicar por el número negativo cambiamos el orden de la desigualdad. Por lo tanto el conjunto solución está formado por todos los números mayores que -1/2. En otras palabras, la solución de la desigualdad es el ? ?1 ? intervalo La representación ? 2 ? gráfica de la solución se muestra a la derecha. 2 -2 + x < 9x + 6 -2 x<9x+4

x -9x < 9x – 9x + 4 -8x < 4 ? ?1? ?-1? ? 8 ? ? 8 ? x> o bien

-1 2 -4 8

x>

? ? ? ??20? ?10x? ? 9 < 3x ? ?3? ?3? ?3? 3. Hallar la solución de la desigualdad 3x + 5 = -7x + 8 y represéntela gráficamente en la línea recta. Solución: Trataremos de despejar la x en la parte izquierda de la desigualdad utilizando las propiedades de las desigualdades mostradas en los apartados 1, y 2 de este documento. Primero sumamos 7x a ambos lados, usando 3x + 7x + 5 – 7x + 7x + 25 la propiedad 3. Ahora sumamos -5 a ambos lados utilizando la propiedad 3. 10x + 5 10x + 5 -5 10x 25 25 – 5 20 Enseguida multiplicamos por 1/10. De esta manera tenemos que la solución está formada por todos los números menores o iguales que 2. En otros términos, la solución está dada por el intervalo (- La representación gráfica de este intervalo se muestra a la derecha. ? 1 ? ? 1 ? ?10? ?10? x 2 4. Hallar el conjunto de soluciones de la desigualdad 2 + 3x < 5x + 8 e ilustrarlo en la línea recta. Solución: Las siguientes desigualdades son equivalentes: Sumando -2 a ambos lados de la desigualdad. 2 + 3x < 5x + 8 2 + 3x -2< 5x + 8-2 3x < 5x + 6 Sumando -5x a ambos lados de la 3x – 5x < 5x -5x + 6 desigualdad. Multiplicamos por (-1/2) los dos lados de la desigualdad. Observa que cambiamos el orden de la desigualdad. Por consiguiente, el conjunto de soluciones es el intervalo (-3, + ? ), que se ilustra en la gráfica de la derecha. (-1/2)(-2x) -2x < 6 (-1/2)(6) = -6/2 5. Resolver la desigualdad 2x + 3 x +7 y representar la solución en la línea recta. Solución: Despejaremos la variable x en la parte izquierda de la inecuación. Sumando -3 a ambos lados de la desigualdad.

Sumando -3x a ambos lados.

Multiplicamos por (-1) ambos lados para dejar x con signo positivo, (fíjate que cambiamos el orden de la desigualdad) y así tenemos que la solución es el intervalo (-4, + La gráfica del intervalo se muestra a la derecha. 2x + 3 2x + 3 – 3 2x 2x -3x -x (-1)(-x) x x +7 x +7 – 3 x+4 x -3x + 4 4 (-1)(4) -4 6. Hallar la solución de la desigualdad 7 < 3x – 2 ? 13 e ilustrarla en la recta de los números reales. Solución: En este caso tenemos una doble desigualdad en la que sólo en la parte intermedia aparece la variable x. La solución consta de todos los valores de x que satisfacen las dos desigualdades. Para resolverla despejaremos la variable x en la parte media de la desigualdad aplicando las propiedades dadas en los párrafos 1 y 2. Primero sumamos 2 a toda la desigualdad, usando la propiedad 3.

Enseguida multiplicamos por (1/3) toda la desigualdad utilizando la propiedad 5. De esta manera tenemos que la solución está formada por todos los números x mayores que 3 y menores o iguales a 5. En otros términos, la solución está dada por el intervalo (3, 5]. La 7 < 3x – 2 ? 13 7 + 2 < 3x – 2 + 2 ? 13 + 2 9 < 3x ? 15 ?1? ?1? ?1? ? ? ? ? ? ?15 3<x ? 5

(?2)(?3) ? (?2)( )>(-2)(16) ? ??7?