Indice1. Introducción 2. Una particular ecuación cubica.
Sabiendo que: 
(I), calcularemos las siguientes sumas:
i) 
ii) 
- Suma de los N-Primeros cuadrados.
Partiendo del producto notable: 
; y aplicándolo sucesivamente se tiene:
Sumando miembro a miembro y simplificando se obtiene:
Por (I)
es decir:
(II)
Para demostrar (II) Se usa el método de Inducción Matemática.
-
. La formula es evidente.
- Se asume válida para:
, esto es: - Se demuestra la validez para:
, en efecto:
l.q.q.d.
- Suma de los n-primeros cubos.
Dado un cuadrado de lado 1 1 (fig. 1)
1
Prolongando cada lado de éste cuadrado en 2 unidades obtenemos el cuadrado C2. (fig. 2)
C B
2
M E Característica de C2. Area de C2
1 
0 1 D 2 A
C2. Se divide en dos escuadras que son: C1 y DABCME.
Area de DABCME = A(DABCME) 
Prolongando los lados de C2 3 unidades se obtiene el cuadrado C3. (fig.3) E D 3 F I 2 G H 
1 0 1 A 2 B 3 C
Se repite este proceso hasta obtener un cuadrado de lado: 
(Cn). (fig. 4) D G’ C E G n-1 2 1 0 1 2 n–1 A n B
El área del cuadrado OBCD es igual a las sumas de las áreas de las escuadras del tipo ABCDEG.
Area De La Escuadra ABCDEG.
Evidentemente se sospechaba este resultado. La penúltima escuadra tiene área: 
. Y así sucesivamente se tiene:
Suma de todas las áreas de las escuadras.
Area del cuadrado OBCD 
(II)
Comparando (I) y (II), se tiene:
2. Una particular ecuación cubica.
Resolver la ecuación: 
Sabiendo que: 
; 
(1)
La ecuación: 
, se escribe de la forma: 
De aquí resulta:
(2)
De la condición: 
, se tiene: 
y reemplazando en (2) se tiene:
Por lo tanto se obtiene la primera raíz: 
(3)
La ecuación: ; también puede ser escrita de la siguiente manera:
(4)
como: 
y reemplazando en (4), se obtiene: 
(5)
Las raíces de (1) son: 
.
Ej. :
-
; en este caso: 
; 
; 
Autor:
Juan Sapa