El algoritmo de Ruffini (Horner) y su generalización para ordenadores

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El algoritmo de Ruffini (Horner) y su generalización para ordenadores. Aladar Peter Santha

Teorema 1: Si f X a n X n a n 1 X n 1 ? a 2 X 2 a1 X a 0 n 1 y g X X a , son dos polinomios con coeficientes en un anillo conmutativo con elemento neutro, entonces existe un polinomio q X A X de grado n 1 y r A tales que f X Demostración: Suponiendo que X a q X r (1) q X bn 1 X n 1 bn 2 X n 2 ? b1 X b0 X a q X r bn 1 X n bn 2 abn 1 X n 1 bn 3 abn 2 X n 2 ? ? b2 ab3 X 3 b1 ab2 X 2 b0 ab1 X r ab0 , de la igualdad (1) resulta que bn 1 an bn bn 2 3 abn abn 1 2 an 1 an 2 bn bn 2 3 an an 1 2 abn 1 abn 2 ……………………………………………………………… b2 ab3 a3 b1 ab2 a3 b0 ab1 a3 r ab0 a0 b2 a3 ab3 b1 a2 ab2 b0 a1 ab1 r a0 ab0 (2) Según las igualdades (2), al conocer el coeficiente bi del polinomio q X , el coeficiente bi 1 se puede calcular según la fórmula siguiente: bi 1 ai abi i n 1 , ? 0 . Este procedimiento sencillo para el cálculo de los coeficientes del cociente, entre el polinomio f X y el polinomio X a , se llama el algoritmo de Ruffini (ó Hörner). El cálculo se puede organizar según el esquema siguiente: a an an abn 1

1 an

abn 2

2 …

… a 2

ab2 a1

ab1 a0 ab0 bn 1 an bn 2 bn 3 … b1 b0 r Para rellenar la tabla, se completan primero las casillas con los coeficientes del polinomio y la casilla con el valor de a . Como segundo paso, en la casilla que se encuentra en la columna de an y la tercera fila, se coloca el valor de an . En la tercera etapa, se rellenan progresivamente las casillas de la segunda y la tercera fila. Para esto se multiplica con a el contenido de la última casilla rellenada en la tercera fila y se coloca el producto en la casilla de la segunda fila de la columna siguiente, luego se suma el contenido de ésta última casilla con el contenido de la casilla que se encuentra en la primera fila de la misma columna, colocando la suma en la tercera fila de ésta columna. El proceso se continúa hasta que la tabla quedará rellenada. Ejemplo 1: Si A R , f X X 4 2 X 2 2 X 5 y a 2 , entonces se obtiene la tabla siguiente:

2 2 1

1 0

2 2 -2

4 2 3

4 7 -5

14 11 , de donde resulta que q X X 3 2 X 2 2 X 7 y r 11 . Si los coeficientes del polinomio y el valor del parámetro a son enteros o decimales, la codificación del cálculo del ejemplo 1 es la siguiente:

Public Function RuffiniAR(ByRef p() As Double, ByVal a As Double) As String Dim q() As Double, g As Integer, i As Integer Dim res As String, c() As Double, rc As String g = UBound(p()): rc = Chr$(13) + Chr$(10) ReDim q(g), c(g – 1) q(0) = p(0) For i = 0 To g – 1 q(i + 1) = q(i) * a + p(i + 1) Next i For i = 0 To g – 1: c(i) = q(i): Next i 'c() es el cociente res = "Cosiente = " + FormatoPolR(c()) + rc RuffiniAR = res + "Resto = " + Str$(q(g)) ' q(g) es el resto End Function ‘ ————————————- Public Function FormatoPolR(ByRef qx() As Double) As String Dim i As Integer, pol As String gx = UBound(qx()) If Abs(qx(0)) = 1 Then If qx(0) = 1 Then If gx > 1 Then pol = pol + "X^" + Str$(gx) Else pol = pol + "X" End If End If If qx(0) = -1 Then If gx > 1 Then pol = pol + "- X^" + Str$(gx) Else pol = pol + "- X" End If End If Else If Abs(qx(0)) > 1 Then pol = pol + Str$(qx(0)) Else If qx(0) > 0 Then pol = pol + "0" + Mid$(Str$(Abs(qx(0))), 2) Else pol = pol + "- 0" + Mid$(Str$(Abs(qx(0))), 2) End If End If If gx > 1 Then pol = pol + " X^" + Str$(gx) Else pol = pol + " X" End If End If For i = 1 To gx If qx(i) 0 Then If qx(i) < 0 Then pol = pol + " – " Else pol = pol + " + " End If If Abs(qx(i)) 1 Then If Abs(qx(i)) > 1 Then pol = pol + Mid$(Str$(Abs(qx(i))), 2)

3

Else pol = pol + "0" + Mid$(Str$(Abs(qx(i))), 2) End If Else If i = gx Then pol = pol + Mid$(Str$(1), 2) End If End If If i < gx Then pol = pol + " X" End If If i < gx – 1 Then pol = pol + "^" + Str$(gx – i) End If End If Next i VerPolR = pol End Function

Observación 1: Si se pone X a en la igualdad (1) resulta que f a r , es decir el valor del polinomio f x en el punto a es el resto de la división del polinomio con X a . De hecho, el esquema de Ruffini se utiliza más bien para calcular los valores de las funciones de tipo polinomio (este es el caso cuando se aproximan los ceros de un polinomio por el método de la bipartición). La función RuffiniAR se puede adaptar a este caso, cuando no interesan los coeficientes del cociente:

Public Function ValPolR(ByRef p() As Double, ByVal a As Double) As Double Dim i As Integer, gp As Integer, q As Double gp = UBound(p()): q = p(0) For i = 0 To gp – 1: q = q* a + p(i + 1): Next i ValPolR = q End Function

Si el polinomio o el parámetro a tienen valores que no son ni enteros ni decimales, entonces considerando valores aproximados para ellos, el código RuffiniA devolverá un resultado que es también aproximado. Por ejemplo, si f X X 4 3 X 2 X 2 2 X 5 y a 7 / 3 Entonces considerando las aproximaciones 3 1.732050807588 y 7 / 3 2.333333333333 , la función RuffiniAdevolverá el resultado siguiente: q X X 3 q1 X 2 q 2 X q 3 y r 50.4232133…. , donde q1 4.065384140901, q2 7.48589632876764 y q3 4670914337887 . La precisión de estos últimos cálculos no es muy grande, teniendo en cuenta que haciendo los cálculos a mano se obtiene r 50.42319 … . Si en la resolución de las ecuaciones algebraicas por el método de la bipartición se quieren calcular los ceros con más de 16 decimales después del punto decimal, los valores de la polinomio hay que calcular con el método de Ruffini adaptado a las operaciones con enteros y decimales largos:

Public Function ValPolRG(ByRef p() As String, ByVal a As String) As String Dim i As Integer, gp As Integer, q As String, x(2) String, n as integer gp = UBound(p()): q = p(0):n7= 7 For i = 0 To gp – 1 x(1) = q: x(2) = a: x(1) = MultiplicarDec(x(1), x(2)) x(2) = p(i+1): q = SumarDec(x(1), x(2))

Next i ValPolRG = q End Function Ejemplo 2: Si A C , f X 2 3i X 4 2 X 2 5 i X 7 4i y a 3 i , entonces se obtiene la tabla siguiente:

q X 4 3+i 2-3i

2-3i 0

9-7i

9-7i -2

34-12i

32-12i 5+i

108-4i

113-3i 7-4i

342+104i

349+100i Así, 2 3i X 3 9 7i X 2 32 12i X 113 3i y r 349 100i Los cálculos se pueden programar para ordenadores de la manera siguiente:

Public Function RuffiniAC(ByRef p1() As Double, ByRef p2() As Double, ByRef a() As Double) As Variant Dim i As Integer, gx As Integer, coci As String, r As String, rc As String Dim q() As Double, x() As Double, rt() As Double, ra As String gx = UBound(p1()): rc = Chr$(13) + Chr$(10) ReDim q(gx, 2), x(2) q(0, 1) = p1(0): q(0, 2) = p2(0) For i = 1 To gx x(1) = q(i – 1, 1): x(2) = q(i – 1, 2) rt() = ProdNC(x(), a()) q(i, 1) = rt(1) + p1(i): q(i, 2) = rt(2) + p2(i) Next i ReDim q1(gx – 1), q2(gx – 1) For i = 0 To gx – 1 q1(i) = q(i, 1): q2(i) = q(i, 2) Next i coci = FormatoPolinomioComplejo(q1(), q2()) ra = "Cociente: " + coci + rc r = FormatoNumeroComplejo(q(gx, 1), q(gx, 2)) ra = ra + rc + "Resto de la división = " + r RuffiniAC = ra End Function ‘ —————————————— Public Function ProdNC(ByRef x() As Double, ByRef a() As Double) As Variant Dim pr() As Double ReDim pr(2) pr(1) = x(1) * a(1) – x(2) * a(2) pr(2) = x(1) * a(2) + a(1) * x(2) ProdNC = pr() End Function ‘ ——————————————————– Public Function FormatoPolinomioComplejo(ByRef z1() As Double, ByRef z2() As Double) As String Dim i As Integer, j As Integer, gx As Integer Dim cd As String, cm As String gx = UBound(z1()) For i = 0 To gx If z1(i) 0 Or z2(i) 0 Then If i = 0 Then If z2(0) = 0 Then If Abs(z1(0)) 1 Then cm = f2(z1(0)) Else If gx 0 Then If z1(0) = -1 Then cm = "-" Else If z1(0) = -1 Then cm = Str$(-1) Else cm = Mid$(Str$(1), 2) End If End If Else If gx 0 Then If z1(0) 0 Then cm = cm + "(" + f2(z1(0)) End If If Abs(z2(0)) 1 Then If z1(0) 0 Then If z2(0) > 0 Then cm = cm + " + " + f1(Mid$(Str$(z2(0)), 2)) + " i )" Else cm = cm + " – " + f1(Mid$(Str$(z2(0)), 2)) + " i )"

5 End If Else cm = cm + f2(z2(0)) + " i" End If Else If z2(0) = 1 Then cm = cm + " + i )" Else cm = cm + " – i )" End If Else cm = cm + f2(z1(0)) If Abs(z2(0)) 1 Then If z2(0) > 0 Then cm = cm + " + " + f1(Mid$(Str$(z2(0)), 2)) + " i" Else cm = cm + " – " + f1(Mid$(Str$(z2(0)), 2)) + " i" End If Else If z2(0) = 1 Then cm = cm + "+ i" Else cm = cm + "- i" End If End If End If If gx 0 Then If gx = 1 Then cm = cm + " X " Else cm = cm + " X^" + Mid$(Str$(gx), 2) End If End If Else If Abs(z2(i)) 0 Then If i < gx Then If z1(i) 0 Then cd = cd + " + (" + f2((z1(i))) If Abs(z2(i)) 1 Then If z2(i) > 0 Then cd = cd + " + " + f1(Mid$(Str$(z2(i)), 2)) + " i )" Else If z2(i) < 0 Then cd = cd + " – " + f1(Mid$(Str$(z2(i)), 2)) + " i )" End If End If Else If z2(i) = 1 Then cd = cd + " + i )" Else cd = cd + " – i )" End If Else If Abs(z2(i)) 1 Then If z2(i) < 0 Then cd = cd + " – " + f1(Mid$(Str$(z2(i)), 2)) + " i" Else If z2(i) > 0 Then cd = cd + " + " + f1(Mid$(Str$(z2(i)), 2)) + " i" End If End If Else If z2(i) = 1 Then cd = cd + " + i" Else cd = cd + " – i" End If End If Else If z1(i) > 0 Then cd = cd + " + " + f1(Mid$(Str$(z1(i)), 2)) Else If z1(i) < 0 Then cd = cd + " – " + f1(Mid$(Str$(z1(i)), 2)) End If End If If Abs(z2(i)) 1 Then If z2(i) > 0 Then cd = cd + " + " + f1(Mid$(Str$(z2(i)), 2)) + " i" Else If z2(i) < 0 Then cd = cd + " – " + f1(Mid$(Str$(z2(i)), 2)) + " i" End If End If Else If z2(i) = 1 Then cd = cd + " + i" Else cd = cd + " – i" End If End If

6 Else If Abs(z1(i)) 0 Then If Abs(z1(i)) 1 Then If z1(i) < 0 Then cd = cd + " – " + f1(Mid$(Str$(z1(i)), 2)) Else cd = cd + " + " + f1(Mid$(Str$(z1(i)), 2)) End If Else If z1(i) = 1 Then cd = cd + " + " Else cd = cd + " – " End If End If End If If gx > 1 Then If i < gx – 1 Then cd = cd + " X^" + Mid$(Str$(gx – i), 2) Else If i = gx – 1 Then cd = cd + " X " End If End If End If cm = cm + cd: cd = "" End If End If Next i FormatoPolinomioComplejo = cm End Function ‘ ——————————————————- Public Function FormatoNumeroComplejo(ByVal pr As Double, ByVal pi As Double) As String Dim r As String If pr 0 Then r = r + f2(pr) End If If pi 0 Then If Abs(pi) = 1 Then If pi = 1 Then r = r + " + " Else r = r + " – " Else If pi > 0 Then If pr 0 Then r = r + " + " r = r + f2(pi) Else r = r + " – " + f1(Mid$(Str$(pi), 2)) End If End If r = r + " i" End If If r = "" Then r = "0" FormatoNumeroComplejo = r End Function ‘ —————————————— Public Function f1(ByVal x As String) As String If Abs(Val(x)) >= 1 Then f1 = x Else If Left$(x, 1) = "." Then f1 = "0" + x Else f1 = x End If End Function ‘ —————————————— Public Function f2(ByVal x As Double) As String Dim xx As String xx = Str$(x) If Abs(x) >= 1 Then f2 = Str$(x) Else If Left$(xx, 1) = "-" Then If Left$(xx, 2) = "-." Then f2 = "-0" + Right$(xx, Len(xx) – 1) Else f2 = xx Else If x = 0 Then f2 = Str$(0) Else If Left$(xx, 2) = " ." Then f2 = "0" + Right$(xx, Len(xx) – 1) Else f2 = xx End If End If End If End Function

q X 7

Ejemplo 3: Sea A DU , donde DU es el anillo de los números duales, que tienen la forma a b ( a, b R, 2 0 y 0 ). Si f X 2 3 X 4 2 X 2 5 X 7 4 y a 3 , entonces 3 2- 3

2- 3 0

6-7

6-7 -2

18-15

16-15 5+

48-29

53-28 7- 4

159-31

166-35 2 3 X 3 6 7 X 2 16 15 X 53 28i y r 166 35 Los cálculos se pueden programar para ordenadores de la manera siguiente:

Public Function RuffiniAD(ByRef p1() As Double, ByRef p2() As Double, ByRef a() As Double) As Variant Dim i As Integer, gx As Integer, coci As String, r As String, rc As String Dim q() As Double, x() As Double, rt() As Double, ra As String gx = UBound(p1()): rc = Chr$(13) + Chr$(10) ReDim q(gx, 2), x(2) q(0, 1) = p1(0): q(0, 2) = p2(0) For i = 1 To gx x(1) = q(i – 1, 1): x(2) = q(i – 1, 2) rt() = ProdND(x(), a()) q(i, 1) = rt(1) + p1(i): q(i, 2) = rt(2) + p2(i) Next i ReDim q1(gx – 1), q2(gx – 1) For i = 0 To gx – 1 q1(i) = q(i, 1): q2(i) = q(i, 2) Next i coci = FormatoPolinomioComplejo(q1(), q2()) ra = "Cociente: " + coci + rc r = FormatoNumeroComplejo(q(gx, 1), q(gx, 2)) ra = ra + rc + "Resto de la división = " + r RuffiniAD = ra End Function ‘ —————————————— Public Function ProdND(ByRef x() As Double, ByRef a() As Double) As Variant Dim pr() As Double ReDim pr(2) pr(1) = x(1) * a(1) pr(2) = x(1) * a(2) + a(1) * x(2) ProdND = pr() End Function ‘ —————————————— Public Function FormatoPolinomioDual(ByRef z1() As Double, ByRef z2() As Double) As String Dim i As Integer, j As Integer, gx As Integer Dim cd As String, cm As String gx = UBound(z1()) For i = 0 To gx If z1(i) 0 Or z2(i) 0 Then If i = 0 Then If z2(0) = 0 Then If Abs(z1(0)) 1 Then cm = f2(z1(0)) Else If gx 0 Then If z1(0) = -1 Then cm = "-"

8 Else If z1(0) = -1 Then cm = Str$(-1) Else cm = Mid$(Str$(1), 2) End If End If Else If gx 0 Then If z1(0) 0 Then cm = cm + "(" + f2(z1(0)) If Abs(z2(0)) 1 Then If z1(0) 0 Then If z2(0) > 0 Then cm = cm + " + " + f1(Mid$(Str$(z2(0)), 2)) + " e )" Else cm = cm + " – " + f1(Mid$(Str$(z2(0)), 2)) + " e )" End If Else cm = cm + f2(z2(0)) + " e" End If Else If z2(0) = 1 Then cm = cm + " + e )" Else cm = cm + " – e )" End If Else cm = cm + f2(z1(0)) If Abs(z2(0)) 1 Then If z2(0) > 0 Then cm = cm + " + " + f1(Mid$(Str$(z2(0)), 2)) + " e" Else cm = cm + " – " + f1(Mid$(Str$(z2(0)), 2)) + " e" End If Else If z2(0) = 1 Then cm = cm + "+ e" Else cm = cm + "- e" End If End If End If If gx 0 Then If gx = 1 Then cm = cm + " X " Else cm = cm + " X^" + Mid$(Str$(gx), 2) End If End If Else If Abs(z2(i)) 0 Then If i < gx Then If z1(i) 0 Then cd = cd + " + (" + f2((z1(i))) If Abs(z2(i)) 1 Then If z2(i) > 0 Then cd = cd + " + " + f1(Mid$(Str$(z2(i)), 2)) + " e )" Else If z2(i) < 0 Then cd = cd + " – " + f1(Mid$(Str$(z2(i)), 2)) + " e )" End If End If Else If z2(i) = 1 Then cd = cd + " + e )" Else cd = cd + " – e )" End If Else If Abs(z2(i)) 1 Then If z2(i) < 0 Then cd = cd + " – " + f1(Mid$(Str$(z2(i)), 2)) + " e" Else If z2(i) > 0 Then cd = cd + " + " + f1(Mid$(Str$(z2(i)), 2)) + " e" End If End If Else If z2(i) = 1 Then cd = cd + " + e" Else cd = cd + " – e" End If End If Else If z1(i) > 0 Then cd = cd + " + " + f1(Mid$(Str$(z1(i)), 2)) Else If z1(i) < 0 Then cd = cd + " – " + f1(Mid$(Str$(z1(i)), 2)) End If

9 End If If Abs(z2(i)) 1 Then If z2(i) > 0 Then cd = cd + " + " + f1(Mid$(Str$(z2(i)), 2)) + " e" Else If z2(i) < 0 Then cd = cd + " – " + f1(Mid$(Str$(z2(i)), 2)) + " e" End If End If Else If z2(i) = 1 Then cd = cd + " + e" Else cd = cd + " – e" End If End If Else If Abs(z1(i)) 0 Then If Abs(z1(i)) 1 Then If z1(i) < 0 Then cd = cd + " – " + f1(Mid$(Str$(z1(i)), 2)) Else cd = cd + " + " + f1(Mid$(Str$(z1(i)), 2)) End If Else If z1(i) = 1 Then cd = cd + " + " Else cd = cd + " – " End If End If End If If gx > 1 Then If i < gx – 1 Then cd = cd + " X^" + Mid$(Str$(gx – i), 2) Else If i = gx – 1 Then cd = cd + " X " End If End If End If cm = cm + cd: cd = "" End If End If Next i FormatoPolinomioDual = cm End Function ‘ —————————————— Public Function f1(ByVal x As String) As String If Abs(Val(x)) >= 1 Then f1 = x Else If Left$(x, 1) = "." Then f1 = "0" + x Else f1 = x End If End If End Function ‘- – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – Public Function f2(ByVal x As Double) As String Dim xx As String xx = Str$(x) If Abs(x) >= 1 Then f2 = Str$(x) Else If Left$(xx, 1) = "-" Then If Left$(xx, 2) = "-." Then f2 = "-0" + Right$(xx, Len(xx) – 1) Else f2 = xx End If Else —————————————————– Public Function FormatoNumeroDual(ByVal pr As Double, ByVal pi As Double) As String Dim r As String If pr 0 Then r = r + f2(pr) End If If pi 0 Then If Abs(pi) = 1 Then If pi = 1 Then r = r + " + " Else r = r + " – "

f X 2 son: X X X 10

Else If pi > 0 Then If pr 0 Then r=r+"+ " End If r = r + f2(pi) Else r = r + " – " + f1(Mid$(Str$(pi), 2)) End If End If r = r + " e" End If If r = "" Then r = "0" FormatoNumeroDual = r End Function Si en lugar de X a , se desea dividir el polinomio bX a (b 0) , entonces de las igualdades: con el polinomio f X X a b q X r f X bX a q1 X r1 X a b q X r bX a q X b r , resulta que q1 X q X b y r1 r Ejemplo 4: Para dividir el polinomio del ejemplo 1 con 3X 2 se dividirá primero el polinomio f X con X 2 / 3 . Los cálculos se reflejan en la tabla siguiente: 2 3 1

1 0

2 3 2 3 -2

4 9 14 9 3

28 27 53 27 -5

106 81 299 81 , de donde resulta que el cociente y el resto en la división con 3X q X 1 3 3 2 2 9 14 27 X 53 81 y r 299 81 , respectivamente. Ejemplo 5: Para dividir el polinomio del ejemplo 2 con (3 i) X (2 5i) se dividirá el polinomio primero entre X 2 5i 3 i 1 17 10 10 i , según la tabla siguiente: 1 17i 10 2+3i

2+3i 0

49 37i 10 49 37i 10 -2

339 398i 50 239 398i 50 5+i

28 27 53 27 7-4i

106 81 299 81

X X 1 1 1 i 11 q X 3 11i 3 10 92 31i 2 10 223 191i 100 X 159 53i 270 y r 299 81 Dados el polinomio P X de grado n y el número real a , el esquema de Ruffini es también útil para hallar los coeficientes de un polinomio Q Y de grado n , tal que Q X a P X . En efecto, si P X P X P X P2 X X a r0 X a r1 ………. ………. ………. ………. …… Pn 1 X Pn X X a rn , donde grado Pi X Entonces n i i 1, ? , n P X P X X a r0 P2 X X a 2 r1 X a r0 P3 X X a 3 r2 X a 2 r1 X a r0 ………. ………. ………. ………. ………. ………. ………. . rn X X a n rn 1 X a n 1 ? r1 X a r0 , donde r0 P a , r1 P1 a , r2 P2 a , ? , rn Pn a . Los cálculos anteriores se pueden codificar de la manera siguiente:

Public Function RuffiniB(ByRef p() As Double, ByVal a As Double) As String Dim i As Integer, j As Integer, g As Integer, r() As Double, q() As Double g = UBound(p()) ReDim r(g, g), q(g) For i = 0 To g r(i, 0) = p(i) Next i For i = 1 To g r(0, i) = p(0) Next i For j = 1 To g-j For i = 1 To g – j + 1 r(i, j) = a * r(i – 1, j) + r(i, j – 1) Next i Next j q(0) = p(0) For i = 1 To g q(i) = r(i, g – i + 1) Next i RuffiniB = FormatoPol(q()) End Function Los coeficientes del polinomio buscado serán los números q i 0, ? , g , donde g es el grado del polinomio p() .

Ejemplo 6: Si P X 2 X 3 7 X 2 5 X 9 y a 3 entonces según la función anterior, Q X 2 X 3 11X 2 17 X 15 y así, P X 2 X 3 3 11 X 3 2 17 X 3 15 . Los cálculos a mano se podrían organizar según la tabla siguiente: 2, -7 5 9 3 3 3 2 2 2 -1 5 11 r2 17 2 r1 15 r0

4 3 2 12 2 r3 Ejemplo 7: Si P X 2 3i X 4 1 7i X 3 9 5i X 2 8 i X 4 3i y a 3 i , entonces Q X 2 3i X 4 37 21i X 3 201 11i X 2 426 167i X 309 282i ,y P X 2 3i X a 37 21 X a 201 11i X a 426 167i X a 309 282i El esquema de Ruffini para dividir un polinomio por el polinomio X a se puede generalizar para el caso cuando se divide con un polinomio cuyo coeficiente director es 1. En efecto, si se quiere dividir el polinomio , con el polinomio A X a0 X n a1 X n 1 ? a n 1 X a n (3) P X X m p1 X m 1 ? p m 1 X p m (m n) (4) , sean Q X q0 X n m q1 X n m 1 ? qn m 1 X qn m (5) R X r0 X n m 1 r1 X n m 2 ? rn m 2 X rn m 1 (6) , el cociente y el resto de la división, respectivamente. Entonces se cumple la igualdad A X P X Q X R X (7) A continuación se efectuará el desarrollo de la expresión P X Q X R X en los dos casos siguientes: 1) Si n 8 y m 3 , el cálculo de la expresión mencionada se puede organizar según la tabla siguiente: X 8 X 7 X 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 X 0 q0 q1 q 2 q3 q 4 q5 p1q0 p1q1 p1q2 p1q3 p1q4 p1q5 p2 q0 p2 q1 p2 q2 p2 q3 p2 q4 p2 q5 p3 q0 p3 q1 p3 q2 p3 q3 p3 q4 p3 q5 Así r0 r1 r2 P X Q X R X S X s 0 X 8 s1 X 7 s 2 X 6 s 3 X 5 s 4 X 4 s 5 X 3 s 6 X 2 s 7 X s8 , donde s0 s1 s2 q0 q1 p1q0 q2 p1q1 p2 q0 s3 q3 p1q2 ` p2 q1 p3 q0 s4 q4 p1q3 p2 q2 p3 q1 (8)

s6 R X 13 s 5 a q5 p1 q 4 p 2 q 3 p 3 q 2 p1q5 p2 q4 p3 q3 r0 s7 s8 p2 q5 p3 q4 p3 q5 r2 r1 Identificando los polinomios A X y S X resulta que q0 a0 q1 a1 p1q0 a1 p j qk (0 j m, 0 k 1) j k 1 q2 a2 p1q1 p2 q0 a2 p j qk (0 j m, 0 k 2 ) j k 2 q3 a3 p1q2 p2 q1 p3 q0 a3 p j qk 0 j m, 0 k 3 j k 3 q4 a4 p1q3 p2 q2 p3 q1 a4 p j qk 0 j m, k 4 (9) j k 4 q5 a5 p1q4 p2 q3 p3 q2 qn n an m p j qk 0 j m, k 5 j k n m r0 a6 p1q5 p2 q4 p3 q3 an m 1 p j qk 0 j m, k n m j k n m 1 r1 a7 p2 q5 p3 q4 an m 2 p j qk 0 j m, k n m j k n m 2 r2 a8 p3 q5 an m 3 p j qk 0 j m, k n m jçk n m 3 2) Si n 8 y m 6 , el cálculo de la expresión P X Q X la tabla siguiente: se puede efectuar según X 8 X 7 X 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 X 0 q0 q1 q 2 p1q0 p1q1 p1q2 p2 q0 p2 q1 p2 q2 p3 q0 p3 q1 p3 q2 p4 q0 p4 q1 p4 q2 p5 q0 p5 q1 p5 q2 p6 q0 p6 q1 p6 q2 r0 r1 r2 r3 r4 r5 Así, P X Q X R X S X s 0 X 8 s1 X 7 s 2 X 6 s 3 X 5 s 4 X 4 s 5 X 3 s 6 X 2 s 7 X s8 s0 s1 s2 q0 q1 p1q0 q2 p1q1 p2 q0 s3 p1q2 ` p2 q1 p3 q0 r0 s4 s5 p2 q2 p3 q2 p2 q1 p4 q1 p3 q0 r1 p5 q0 r2 (8’)

(10) j 14 s6 s7 s8 p4 q2 p5 q2 p6 q2 p5 q1 p6 q0 p6 q1 r4 r5 r3 Luego, Identificando los polinomios A X y S X resulta que q0 a0 q1 a1 p1q0 a1 p j qk (0 j m, 0 k 1 ) j k 1 q2 a2 p1q1 p2 q0 a2 p j qk (0 j 3, 0 k 2 ) j k 2 r0 a3 p1q2 p2 q1 p3 q0 an m 1 p j qk 0 j m, 0 k n m j k n m 1 r1 a4 p2 q2 p2 q1 p3 q0 an m 2 p j qk 0 j m, 0 k n m (9’) j k n m 2 r2 a5 p3 q2 p4 q1 p5 q0 an m 3 p j qk 0 j m, 0 k n m j k n m 3 r3 a6 p4 q2 p5 q1 p6 q0 an m 4 p j qk 0 j m, 0 k n m j k n m 4 r4 a7 p5 q2 p6 q1 an m 5 p j qk 0 j m, 0 k n m j k n m 5 r5 a8 p6 q2 an m 6 p j qk 0 j m, 0 k n m j k n m 6

Examinando los dos casos anteriores se puede enunciar el teorema siguiente: Teorema 2: Dados los polinomios A X y P X , las fórmulas que determinan los polinomios Q X y R X y que verifican en la igualdad (7) son las siguientes: q0 a0 y qi ai j k i p j qk , 0 i n m , 0 j m , 0 k i ri an m i 1 p j qk , 0 i m 1 , 0 m , 0 k n m (11) j k n m i 1 Por supuesto, las fórmulas (10) y (11) no son tan manejables como las fórmulas en el caso de la división entre X .a , pero son fácilmente programables y el ordenador las ejecuta con tanta facilidad como las personas la regla normal de Ruffini. Esta manera de efectuar la división tiene sus ventajas, sobre todo cuando los coeficientes de los polinomios son enteros o decimales (trabajar con fracciones es más penoso). Si el coeficiente director p0 del polinomio P X no fuera 1 entonces habrá que dividir P X entre p0 y hacer la división con el polinomio así obtenido. El resto será válido y para obtener el verdadero cociente hay que dividir el cociente obtenido entre p0 . Ejemplo 3: De acuerdo con lo dicho anteriormente, para hallar el cociente y el resto en la división euclidea del polinomio A X entre P X , donde A X 2 X 8 P X 3 X 7 4 X 5 X 6 3 2 X X 5 5 X 2 3 X 4 3 X 4 X 3 4 7 X 2 3 X 4 , se obtiene el cociente y el resto siguientes: Q X 2 X 4 X 3 3 X 2 18 X 13 R X 81X 3 100 X 2 30 X 56

2 15

, respectivamente. Para dividir el polinomio A X entre el polinomio P X , cuyo coeficiente director b0 1 , se dividirá el polinomio A X entre el polinomio P1 X 1 p 0 P X , según el esquema general de Ruffini. Suponiendo que, , de A X P X Q X R X A X 1 p 0 P X Q1 X R1 X , resulta que Q X 1 p 0 Q1 X y R X R1 X En general, los coeficientes del cociente y del resto serán aproximaciones decimales de los coeficientes reales. Ejemplo 4: Para dividir el polinomio A X 3 X 5 7 X 3 4 X 2 5 X 12 , con el polinomio P X 2 X 3 5 X 2 7 X 8 , se divide primero el polinomio A X entre el polinomio P1 X X 3 2.5 X 2 3.5 X 4 , y se obtiene el cociente y el resto Q1 X 3 X 2 7.5 X 4 y R1 X 7.125 X 2 20.625 X 17 , respectivamente. Entonces el cociente y el resto de la división inicial serán: Q X 1 2 Q1 X 1.5 X 2 3.75 X 2 y R X R1 X ,respectivamente. Ejemplo 5: Para dividir el polinomio A X 3 X 5 7 X 3 4 X 2 5 X 12 , entre el polinomio P X 7 X 3 5 X 2 7 X 8 , hay que dividir el polinomio P X entre 7 y así los coeficientes del polinomio P1 X ya no serán números decimales sino números reales periódicos. Por tanto, si no se quiere trabajar con fracciones, tendremos que hacer la división de A X con un polinomio P2 X que, al trabajar con bastantes decimales después de la coma, será una buena aproximación del polinomio P1 X . Así el resultado final será también una aproximación del cociente verdadero. Tomando P2 X X 3 0.714286 X 2 X 1.142857 , se obtendrá el resultado aproximado siguiente; Q X 0.428572 X 2 0.306123X 1.209912 R x 0.763851X 5.918367 X 2.320702 Para efectuar la división de esta manera, se pueden utilizar las funciones siguientes:

Public Function RuffiniG(ByRef a() As Double, ByRef p() As Double) As Variant Dim i As Integer, j As Integer, k As Integer, r() As Double, q() As Double Dim r1() As Double, p1() As Double, gr As Integer, sw As Integer Dim j1 As Integer, ga As Integer, gp As Integer, gb As Integer Dim cxq As String, cxr As String, res(2) As String ga = UBound(a()): gp = UBound(p()): gb = ga – gp

16 ReDim b(gb), p1(gp) If p(0) 1 Then For i = 0 To gp: p1(i) = p(i) / p(0): Next i Else For i = 0 To gp: p1(i) = p(i): Next i End If 'Cálculo de los coeficientes del cociente. b(0) = a(0) For i = 1 To gb b(i) = a(i) For j = 0 To gp For k = 0 To i – 1 If j + k = i Then b(i) = b(i) – p1(j) * b(k) End If Next k Next j Next i ReDim q(gb) If p(0) 1 Then For i = 0 To gb: q(i) = b(i) / p(0): Next i Else For i = 0 To gb: q(i) = b(i): Next i End If cxq = VerPol(q()) 'Calculo de los coeficientes del resto. ReDim r(gp – 1) For i = 0 To gp – 1 r(i) = a(gb + i + 1) For j = 1 To gp For k = 0 To gb If j + k = gb + i + 1 Then r(i) = r(i) – p1(j) * b(k) End If Next k Next j Next i gr = UBound(r()) For i = 0 To gr If Abs(r(i)) > 0.000000000001 Then sw = 1 End If Next i If sw = 1 Then cxr = VerPol(r()) Else cxr = "0" res(1) = cxq: res(2) = cxr RuffiniG = res() End Function ‘ —————————————— Public Function VerPol(ByRef xx() As Double) As String Dim i As Integer, gx As Integer, pol As String, x() As Double x() = xx(): gx = UBound(x()) If gx 0 Then If x(0) 0 Then If Abs(x(0) – 1) < 10 ^ (-15) Then x(0) = 1 If Abs(x(0) + 1) < 10 ^ (-15) Then x(0) = -1 If Abs(x(0)) = 1 Then If x(0) = 1 Then If gx > 1 Then pol = pol + "X^" + Str$(gx) Else pol = pol + "X" End If End If If x(0) = -1 Then If gx > 1 Then pol = pol + "- X^" + Str$(gx) Else pol = pol + "- X" End If End If Else If Abs(x(0)) > 1 Then pol = pol + Str$(x(0)) Else If x(0) > 0 Then pol = pol + "0" + Mid$(Str$(Abs(x(0))), 2)

3 2 2 5 Q X R X 17

Else pol = pol + "- 0" + Mid$(Str$(Abs(x(0))), 2) End If End If If gx > 1 Then pol = pol + " X^" + Str$(gx) Else pol = pol + " X" End If End If End If For i = 1 To gx If x(i) 0 Then If Abs(x(i) – 1) < 10 ^ (-15) Then x(1) = 1 If Abs(x(i) + 1) < 10 ^ (-15) Then x(i) = -1 If x(i) < 0 Then pol = pol + " – " Else pol = pol + " + " End If If Abs(x(i)) 1 Then If Abs(x(i)) > 1 Then pol = pol + Mid$(Str$(Abs(x(i))), 2) Else pol = pol + "0" + Mid$(Str$(Abs(x(i))), 2) End If Else If i = gx Then pol = pol + Mid$(Str$(1), 2) End If End If If i < gx Then pol = pol + " X" End If If i < gx – 1 Then pol = pol + "^" + Str$(gx – i) End If End If Next i Else If x(0) > 0 Then If x(0) < 1 Then pol = pol + "0" + Mid$(Str$(x(0)), 2) Else pol = pol + Mid$(Str$(x(0)), 2) End If Else If x(0) > -1 Then pol = pol + "- 0" + Mid$(Str$(Abs(x(0))), 2) Else pol = pol + "-" + Mid$(Str$(Abs(x(0))), 2) End If End If End If VerPol = pol End Function

Ejemplo 6: Según el código anterior, si A X 4 X 6 7 X 5 8 X 4 3 X 3 12 X 2 5 X 4 y P X X 5 2 X 4 3 X 3 5 X 2 X 4 , entonces Q X 4X 1 y R X 2 X 4 20 X 3 13 X 2 10 X . Ejemplo 7: Si A X 4 X 6 7 X 5 8 X 4 3 X 3 12 X 2 5 X 4 y P X 5 X 3 4 X 2 3 X 7 , entonces Q X 0.8 X 2.04 X 3.712 X 4.7136 y R X 32.2704 X 35.1248 X 36.9952 Ejemplo 8: si A X 7 X 4 4 X 3 15 X 2 3 X 7 y P X , entonces el ordenador devuelve el resultado siguiente: 3 X 2 11X 2.3333333333 333 X 2 7.2222222222 2222 X 27.5925925925 926 X 2 264.407407407407 X 130.962962963 En este caso sencillo, no es difícil ver que

X 18 Q X 7 2 3 65 9 X 745 27 y R X 7139 27 X 3536 27 Cuando se trata de polinomios con coeficientes complejos en vez de la función RuffiniGhay que utilizar la función siguiente, donde a1 () y a2 () ( p01() y p02() ) son las matrices unidimensionales que contienen las partes reales e imaginarias de los coeficientes del dividiendo (divisor), respectivamente.

Public Function RuffiniGC(ByRef a1() As Double, ByRef a2() As Double, ByRef p01() As Double, p02() As Double) As Variant Dim g1 As Integer, g2 As Integer, gq As Integer, r() As Double, r1() As Double Dim i As Integer, j As Integer, j1 As Integer, res(2) As String, r2() As Double Dim b() As Double, x(2) As Double, y(2) As Double, p1() As Double, p2() As Double. Dim q1() As Double, q2() As Double, b1() As Double, b2() As Double, rr() As Double g1 = UBound(a1()): g2 = UBound(p01()): gq = g1 – g2 ReDim b(gq, 2), b1(gq), b2(gq), r1(g2 – 1), r2(g – 1) 'División del divisor con su coeficiente director If p01(0) = 1 And p02(0) = 0 Then p1() = p01(): p2() = p02() Else ReDim p1(g1), p2(g1) p1(0) = 1: p2(0) = 0 y(1) = p01(0): y(2) = p02(0) For k = 1 To g2 x(1) = p01(k): x(2) = p02(k) rr() = DivNC(x(), y()) p1(k) = rr(1): p2(k) = rr(2) Next k End If 'Calculo del cociente b(0, 1) = a1(0): b(0, 2) = a2(0) For i = 1 To gq b(i, 1) = a1(i): b(i, 2) = a2(i) For j = 0 To g2 For k = 0 To i – 1 If j + k = i Then x(1) = p1(j): x(2) = p2(j): y(1) = b(k, 1): y(2) = b(k, 2) rr() = ProdNC(x(), y()) b(i, 1) = b(i, 1) – rr(1): b(i, 2) = b(i, 2) – rr(2) End If Next k Next j Next i For i = 0 To gq b1(i) = b(i, 1): b2(i) = b(i, 2) Next i If p01(0) 1 Or p02(0) 0 Then ReDim q1(gq), q2(gq) For i = 0 To gq x(1) = b1(i): x(2) = b2(i): y(1) = p01(0): y(2) = p02(0) rr() = DivNC(x(), y()) q1(i) = rr(1): q2(i) = rr(2) Next i Else q1() = b1(): q2() = b2() End If ' Cálculo del resto ReDim r(g2 – 1, 2): k = 0 For i = 0 To g2 – 1 r(k, 1) = a1(gq + i + 1): r(k, 2) = a2(gq + i + 1) j = k: j1 = 0 Do x(1) = p1(j + 1): x(2) = p2(j + 1): y(1) = b1(gq – j1): y(2) = b2(gq – j1) rr() = ProdNC(x(), y()) r(k, 1) = r(k, 1) – rr(1): r(k, 2) = r(k, 2) – rr(2) j=j+1 j1 = j1 + 1 Loop While j + 1 = 0 k=k+1 Next i For i = 0 To g2 – 1 r1(i) = r(i, 1): r2(i) = r(i, 2) Next i ' El ociente en la pantalla

19 res(1) = FormatoPolinomioComplejo(q1(), q2()) ' El resto en la pantalla res(2) = FormatoPolinomioComplejo(r1(), r2()) RuffiniGC = res() End Function ‘- – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – Public Function ProdNC(ByRef x() As Double, ByRef y() As Double) As Variant Dim pr(2) As Double pr(1) = x(1) * y(1) – x(2) * y(2) pr(2) = x(1) * y(2) + x(2) * y(1) ProdNC = pr() End Function ‘- – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – Public Function DivNC(ByRef u() As Double, ByRef v() As Double) As Variant Dim cmv As Double, co() As Double, x(2) As Double, y(2) As Double, rr() As Double ReDim co(2) cmv = v(1) * v(1) + v(2) * v(2) x(1) = u(1): x(2) = u(2): y(1) = v(1): y(2) = -v(2) rr() = ProdNC(x(), y()) co(1) = rr(1) / cmv: co(2) = rr(2) / cmv DivNC = co() End Function ‘- – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – Public Function FPolC(ByRef z1() As Double, ByRef z2() As Double) As String Dim i As Integer, j As Integer, gx As Integer, pr as Double Dim cd As String, cm As String gx = UBound(z1()) : pr = 0.000000000000001 For i = 0 To gx If Abs(z1(i) – 1) < pr Then z1(i) = 1 If Abs(z1(i) + 1) < pr Then z1(i) = -1 If Abs(z2(i) – 1) < pr Then z2(i) = 1 If Abs(z2(i) + 1) < pr Then z2(i) = -1 If Abs(z1(i)) < pr Then z1(i) = 0 If Abs(z2(i)) < pr Then z2(i) = 0 If z1(i) 0 Or z2(i) 0 Then If i = 0 Then If z2(0) = 0 Then If Abs(z1(0)) 1 Then cm = f2(z1(0)) Else If gx 0 Then If z1(0) = -1 Then cm = "-" End If Else If z1(0) = -1 Then cm = Str$(-1) Else cm = Mid$(Str$(1), 2) End If End If End If Else If gx 0 Then If z1(0) 0 Then cm = cm + "(" + f2(z1(0)) End If If Abs(z2(0)) 1 Then If z1(0) 0 Then If z2(0) > 0 Then cm = cm + " + " + f1(Mid$(Str$(z2(0)), 2)) + " i )" Else cm = cm + " – " + f1(Mid$(Str$(z2(0)), 2)) + " i )" End If Else cm = cm + f2(z2(0)) + " i" End If Else If z2(0) = 1 Then cm = cm + " + i )" Else cm = cm + " – i )" End If End If Else cm = cm + f2(z1(0))

20 If Abs(z2(0)) 1 Then If z2(0) > 0 Then cm = cm + " + " + f1(Mid$(Str$(z2(0)), 2)) + " i" Else cm = cm + " – " + f1(Mid$(Str$(z2(0)), 2)) + " i" End If Else If z2(0) = 1 Then cm = cm + "+ i" Else cm = cm + "- i" End If End If End If End If If gx 0 Then If gx = 1 Then cm = cm + " X " Else cm = cm + " X^" + Mid$(Str$(gx), 2) End If End If Else If Abs(z2(i)) 0 Then If i < gx Then If z1(i) 0 Then cd = cd + " + (" + f2((z1(i))) If Abs(z2(i)) 1 Then If z2(i) > 0 Then cd = cd + " + " + f1(Mid$(Str$(z2(i)), 2)) + " i )" Else If z2(i) < 0 Then cd = cd + " – " + f1(Mid$(Str$(z2(i)), 2)) + " i )" End If End If Else If z2(i) = 1 Then cd = cd + " + i )" Else cd = cd + " – i )" End If End If Else If Abs(z2(i)) 1 Then If z2(i) < 0 Then cd = cd + " – " + f1(Mid$(Str$(z2(i)), 2)) + " i" Else If z2(i) > 0 Then cd = cd + " + " + f1(Mid$(Str$(z2(i)), 2)) + " i" End If End If Else If z2(i) = 1 Then cd = cd + " + i" Else cd = cd + " – i" End If End If End If Else If z1(i) > 0 Then cd = cd + " + " + f1(Mid$(Str$(z1(i)), 2)) Else If z1(i) < 0 Then cd = cd + " – " + f1(Mid$(Str$(z1(i)), 2)) End If End If If Abs(z2(i)) 1 Then If z2(i) > 0 Then cd = cd + " + " + f1(Mid$(Str$(z2(i)), 2)) + " i" Else If z2(i) < 0 Then cd = cd + " – " + f1(Mid$(Str$(z2(i)), 2)) + " i" End If End If Else

21 If z2(i) = 1 Then cd = cd + " + i" Else cd = cd + " – i" End If End If End If Else If Abs(z1(i)) 0 Then If Abs(z1(i)) 1 Then If z1(i) < 0 Then cd = cd + " – " + f1(Mid$(Str$(z1(i)), 2)) Else cd = cd + " + " + f1(Mid$(Str$(z1(i)), 2)) End If Else If z1(i) = 1 Then cd = cd + " + " Else cd = cd + " – " End If End If End If End If If gx > 1 Then If i < gx – 1 Then cd = cd + " X^" + Mid$(Str$(gx – i), 2) Else If i = gx – 1 Then cd = cd + " X " End If End If End If cm = cm + cd: cd = "" End If End If Next i FPolC = cm End Function ‘- – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – Public Function f1(ByVal x As String) As String If Abs(Val(x)) >= 1 Then f1 = x Else If Left$(x, 1) = "." Then f1 = "0" + x Else f1 = x End If End If End Function ‘- – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – Public Function f2(ByVal x As Double) As String Dim xx As String xx = Str$(x) If Abs(x) >= 1 Then f2 = Str$(x) Else If Left$(xx, 1) = "-" Then If Left$(xx, 2) = "-." Then f2 = "-0" + Right$(xx, Len(xx) – 1) Else f2 = xx End If Else If x = 0 Then f2 = Str$(0) Else If Left$(xx, 2) = " ." Then f2 = "0" + Right$(xx, Len(xx) – 1) Else f2 = xx End If End If End If End If

y i R X 22

End Function

Ejemplo 9: Si A X 2 3i X 5 1 i X 4 7 11i X 3 12 5i X 2 6 13i X 15 4i , y P X X 3 2 4i X 2 3 7i X 1 9i , entonces según el código anterior, Q X 2 3i X 2 17 3i X 56 68i y R X 117 504 i X 2 346 759 X 683 432 i Ejemplo 10: Si A X 2 3i X 5 1 i X 4 7 11i X 3 12 5i X 2 6 13i X 15 4i , B X ) iX 3 7 3i X 2 6 X 13 4i , entonces Q X 3 2i X 2 24 16i X 17 227i R X 725 1703i X 2 268 1487i X 672 3023i Ejemplo 11: Si A X 2 5i X 4 3 i X 3 2 7i X 2 4 2i X 3 8i , y P X 2iX 2 5 6i X 7 , entonces Q X 2.5 i X 2 5.5 10.75i X 16.125 56.25i 310.125 445.75i X 53.625 401.875i

La regla general de Ruffini se puede aplicar también a los polinomios con coeficientes duales excepto en el caso cuando el coeficiente director del divisor es un divisor de cero (dual puro). En este caso el código es la siguiente:

Public Function RuffiniGD(ByRef a1() As Double, ByRef a2() As Double, ByRef p01() As Double, p02() As Double) As Variant Dim g1 As Integer, g2 As Integer, gq As Integer, r() As Double, r1() As Double Dim i As Integer, j As Integer, j1 As Integer, res(2) As String, r2() As Double Dim b() As Double, x(2) As Double, y(2) As Double, p1() As Double, p2() As Double Dim q1() As Double, q2() As Double, b1() As Double, b2() As Double, rr() As Double g1 = UBound(a1()): g2 = UBound(p01()): gq = g1 – g2 ReDim b(gq, 2), b1(gq), b2(gq), r1(g2 – 1), r2(g – 1) If p01(1) = 0 Then MsgBox "¡La división es imposible!" Exit Function End If 'División del divisor con su coeficiente director If p01(0) = 1 And p02(0) = 0 Then p1() = p01(): p2() = p02() Else ReDim p1(g1), p2(g1) p1(0) = 1: p2(0) = 0 y(1) = p01(0): y(2) = p02(0) For k = 1 To g2 x(1) = p01(k): x(2) = p02(k) rr() = DivND(x(), y()) 'Cuando es posible p1(k) = rr(1): p2(k) = rr(2) Next k End If 'Calculo del cociente b(0, 1) = a1(0): b(0, 2) = a2(0) For i = 1 To gq b(i, 1) = a1(i): b(i, 2) = a2(i) For j = 0 To g2 For k = 0 To i – 1 If j + k = i Then x(1) = p1(j): x(2) = p2(j): y(1) = b(k, 1): y(2) = b(k, 2) rr() = ProdND(x(), y()) b(i, 1) = b(i, 1) – rr(1): b(i, 2) = b(i, 2) – rr(2) End If Next k Next j Next i

23 For i = 0 To gq b1(i) = b(i, 1): b2(i) = b(i, 2) Next i If p01(0) 1 Or p02(0) 0 Then ReDim q1(gq), q2(gq) For i = 0 To gq x(1) = b1(i): x(2) = b2(i): y(1) = p01(0): y(2) = p02(0) rr() = DivND(x(), y()) ' Cuando es posible q1(i) = rr(1): q2(i) = rr(2) Next i Else q1() = b1(): q2() = b2() End If ' Cálculo del resto ReDim r(g2 – 1, 2): k = 0 For i = 0 To g2 – 1 r(k, 1) = a1(gq + i + 1): r(k, 2) = a2(gq + i + 1) j = k: j1 = 0 Do x(1) = p1(j + 1): x(2) = p2(j + 1): y(1) = b1(gq – j1): y(2) = b2(gq – j1) rr() = ProdND(x(), y()) r(k, 1) = r(k, 1) – rr(1): r(k, 2) = r(k, 2) – rr(2) j=j+1 j1 = j1 + 1 Loop While j + 1 = 0 k=k+1 Next i For i = 0 To g2 – 1 r1(i) = r(i, 1): r2(i) = r(i, 2) Next i ' El ociente en la pantalla res(1) = FormatoPolinomioDual(q1(), q2()) ' El resto en la pantalla res(2) = FormatoPolinomioDual(r1(), r2()) RuffiniGD = res() End Function ‘ ————————————————- Public Function DivND(ByRef u() As Double, ByRef v() As Double) As Variant Dim cmv As Double, co(2) As Double, x(2) As Double, y(2) As Double, rr() As Double If v(1) = 0 Then MsgBox "¡La división es imposible!" End End If cmv = v(1) * v(1) x(1) = u(1): x(2) = u(2): y(1) = v(1): y(2) = -v(2) rr() = ProdND(x(), y()) co(1) = rr(1) / cmv: co(2) = rr(2) / cmv DivND = co() End Function ‘ ————————————————- Public Function FPolD(ByRef z1() As Double, ByRef z2() As Double) As String Dim i As Integer, j As Integer, gx As Integer, pr As Double Dim cd As String, cm As String gx = UBound(z1()): pr = 0.000000000000001 For i = 0 To gx If Abs(z1(i) – 1) < pr Then z1(i) = 1 If Abs(z1(i) + 1) < pr Then z1(i) = -1 If Abs(z2(i) – 1) < pr Then z2(i) = 1 If Abs(z2(i) + 1) < pr Then z2(i) = -1 If Abs(z1(i)) < pr Then z1(i) = 0 If Abs(z2(i)) < pr Then z2(i) = 0 If z1(i) 0 Or z2(i) 0 Then If i = 0 Then If z2(0) = 0 Then If Abs(z1(0)) 1 Then cm = f2(z1(0)) Else If gx 0 Then If z1(0) = -1 Then cm = "-" End If Else If z1(0) = -1 Then cm = Str$(-1) Else cm = Mid$(Str$(1), 2)

24 End If End If End If Else If gx 0 Then If z1(0) 0 Then cm = cm + "(" + f2(z1(0)) End If If Abs(z2(0)) 1 Then If z1(0) 0 Then If z2(0) > 0 Then cm = cm + " + " + f1(Mid$(Str$(z2(0)), 2)) + " e )" Else cm = cm + " – " + f1(Mid$(Str$(z2(0)), 2)) + " e )" End If Else cm = cm + f2(z2(0)) + " e" End If Else If z2(0) = 1 Then cm = cm + " + e )" Else cm = cm + " – e )" End If End If Else cm = cm + f2(z1(0)) If Abs(z2(0)) 1 Then If z2(0) > 0 Then cm = cm + " + " + f1(Mid$(Str$(z2(0)), 2)) + " e" Else cm = cm + " – " + f1(Mid$(Str$(z2(0)), 2)) + " e" End If Else If z2(0) = 1 Then cm = cm + "+ e" Else cm = cm + "- e" End If End If End If End If If gx 0 Then If gx = 1 Then cm = cm + " X " Else cm = cm + " X^" + Mid$(Str$(gx), 2) End If End If Else If Abs(z2(i)) 0 Then If i < gx Then If z1(i) 0 Then cd = cd + " + (" + f2((z1(i))) If Abs(z2(i)) 1 Then If z2(i) > 0 Then cd = cd + " + " + f1(Mid$(Str$(z2(i)), 2)) + " e )" Else If z2(i) < 0 Then cd = cd + " – " + f1(Mid$(Str$(z2(i)), 2)) + " e )" End If End If Else If z2(i) = 1 Then cd = cd + " + e )" Else cd = cd + " – e )" End If End If Else If Abs(z2(i)) 1 Then If z2(i) < 0 Then cd = cd + " – " + f1(Mid$(Str$(z2(i)), 2)) + " e" Else If z2(i