- Espacio vectorial
- La línea recta
- Tangente a una curva
- Parábola
- Elipse
- Hipérbola
- Asíntotas
- Subtangente y subnormal
- Ecuación general de segundo grado
- Transformación de coordenadas
- Coordenadas polares
- Lugar geométrico
- Distancia de un punto a una recta
- El plano
- La esfera
- Superficies
- Tema de aplicación
- Referencias
Espacio vectorial
Es un conjunto arbitrario diferente del vacío en el cual se han definido dos operaciones: adición y producto por un número. Un conjunto es una colección de objetos que está bien definida, por definida, entendemos que siempre es posible saber si un elemento o no pertenece a una colección o conjunto.
Algunos ejemplos de espacios vectoriales son:
Con las operaciones usuales los siguientes conjuntos se constituyen como espacios vectoriales: Matrices de nÃ-n ; P(n) (polinomios), funciones continuas, IRn (producto cartesiano). Por ahora consideraremos el conjunto IR2 = { (x, y) | … } y veremos las siguientes operaciones:
Sea un vector ^u = (x1, y1) y ^v = (x2, y2) y k un escalar entonces definimos las siguientes operaciones:
^u + ^v = (x1 + x2, y1 + y2) k^u = (kx1, ky1) ^u ·^v = x1 · x2 + y1 · y2
Y además se satisfacen los siguientes axiomas:
Sean vectores denotados como ^u, ^v y ^w y a, b, c escalares, entonces:
1) ^u + ^v = ^v + ^u
2) (^u + ^v )+ ^w = ^u + (^v + ^w)
3) ^u + 0 = 0 + ^u = ^u
4) ^u + ( – ^u) = 0
5) a(b^u) = (ab)^u = ^u(ab)
6) a(^u + ^v) = a^u + a^v
7) (a + b)^u = a^u + b^v
8) 1^u = ^u
9) ^u·^v = ^v·^u
10) ^u(^v + ^w) = ^u·^v + ^u·^w
11) c(^u^v) = (c^u)^v = ^u(c^v)
12) 0·^u = 0
13) ^u·^u = |^u|2
14) Dos vectores son perpendiculares ( ^u·^v = 0
En IR² ó IR³ cuando consideramos un punto (x, y) cualquiera y lo representamos gráficamente en el plano cartesiano trazando una línea de leal origen, recibe el nombre de vector de posición o vector anclado. Además, si el vector ^u es elemento de IR², entonces ^u = (x, y).
En la siguiente gráfica ^u es un vector anclado, observemos los demás elementos que componen dicha gráfica:
Podemos observar que:
^u = ux + uy donde ux = (x, 0) y uy = (y, 0)
Denotamos como || ^u || a la distancia del origen al punto (x, y) denominada magnitud del vector ^u y de donde obtenemos las siguientes conclusiones:
|| ^u || = (x² + y²)½
Cos(?) = x / || ^u ||
Sen(?) = y / || ^u ||
Para un vector anclado ^u, ^ux representa su componente en la dirección x y ^uy representa su componente en la dirección y.
La dirección de un vector de posición está dada por el ángulo que forma con el sentido positivo del eje X.
La línea recta
2.1.Concepto de Línea Recta.
Éste concepto matemático parece no tener definición ya que es una sucesión de puntos y éstos carecen de magnitud, pero se considera como una trayectoria de puntos que no cambian de dirección, o bien, en términos del espacio, es la intersección de dos planos. Además tenemos los siguientes conceptos:
| Página siguiente |