Estadística (página 4)

Método Mínimos cuadrados.

En este método se consideran todos los datos. Primeramente debemos calcular los valores de las expresiones:

Estos valores deben ser reemplazados en el sistema de ecuaciones:

este sistema debe ser resuelto para las incógnitas a y b. Con los valores obtenidos para las constantes a y b la ecuación lineal o curva de ajuste por método de mínimos cuadrados quedaría así:

Ej. Con los datos del ejercicio anterior se tiene que:

Curva de ajuste parabólica.

Método libre.

Para determinar una curva de ajuste parabólica por el método libre, se deben elegir tres puntos

A(x1, y1); B(x2, y2); C(x3, y3) de los n datos conocidos, formando con ellos el siguiente sistema de ecuaciones:

este sistema debe ser resuelto para las incógnitas a, b y c. Con los valores obtenidos se construye la

ecuación

Ej. La producción quincenal de cobre se presenta en la siguiente tabla:

Consideremos los puntos (3, 4), (5, 5) y (6, 9). El sistema para determinar la curva de ajuste parabólica libre tiene por expresión:

Con los resultados obtenidos se construye la curva de expresión

Método Mínimos cuadrados.

En este método se consideran todos los datos. Primeramente debemos calcular los valores de las expresiones:

Estos valores deben ser reemplazados en el sistema de ecuaciones:

para determinar los valores de las incógnitas a, b y c.

Con los valores obtenidos se construye la ecuación parabólica de ajuste por mínimos cuadrados

Ej. Con los datos de la producción quincenal de cobre indicada en la siguiente tabla:

La tabla de cálculos es:

con los valores obtenidos para a, b y c se construye la Ecuación parabólica de ajuste por el método de mínimos cuadrados dada por la expresión:

Mejor curva de ajuste.

La curva de ajuste que tenga el menor valor para la expresión , donde y son los datos originales y ye son los datos obtenidos en las diferentes ecuaciones, será llamada MEJOR CURVA DE AJUSTE.

Ej. Considerando los datos dados en el ejemplo anterior y las ecuaciones lineales obtenidas se concluye que la curva lineal obtenida por el método de mínimos cuadrados, es la mejor curva de ajuste.

Así lo podemos confirmar en el cuadro siguiente:

å

Ej. En cuanto a las parábolas de ajuste obtenidas, se desprende que la curva parabólica de ajuste libre es la mejor.

Ejercicios.

1. La producción en los primeros cuatro años, medidas en miles de toneladas, de una empresa cuprífera está indicada en la tabla siguiente:

1. Determine una curva lineal de ajuste libre.
2. Determine una curva lineal de ajuste por mínimos cuadrados.
3. Determine una curva parabólica de ajuste libre.
4. Determine una curva parabólica de ajuste por mínimos cuadrados.
5. Construya un gráfico en el cual estén graficadas todas las curvas encontradas.
6. Determine cual de las curvas de ajuste es la mejor.
7. Indique cual es la tendencia hacia los próximos años, según su respuesta dada en el punto 1.6.

2. La relación producción – costo de una empresa manufacturera está indicada en la tabla siguiente:

1. Determine una curva lineal de ajuste libre.
2. Determine una curva lineal de ajuste por mínimos cuadrados.
3. Determine una curva parabólica de ajuste libre.
4. Determine una curva parabólica de ajuste por mínimos cuadrados.
5. Construya un gráfico en el cual estén graficadas todas las curvas encontradas.
6. Determine cual de las curvas de ajuste es la mejor.

3. Demuestre que la curva lineal de ajuste por mínimos cuadrados pasa por el punto ().

Series cronológicas

Def. A una relación entre dos variables, una de las cuales es la variable TIEMPO se le denomina

SERIE CRONOLÓGICA.

Ej. La producción anual de cobre de Chile, es una serie cronológica.

Ej. La venta mensual de una empresa X.

Obs. Algunas series cronológicas o de tiempo son:

• Cíclicas
• Estacionales, dependen de las estaciones en años sucesivos
• Irregulares o al azar
• Secular o de larga duración.

Tabla de una serie cronológica.

Obs. En una variable tiempo que interviene en una serie cronológica las unidades de medición pueden ser desde el día, minutos, segundos, eras, etapas, decenios, milenios, etc.

Ej. La producción anual de cobre se presenta en la siguiente tabla:

Una gráfica sería:

Ej. Con los anteriores datos ¿cuál sería la producción esperada para los próximos 5 años?

1. Según una curva lineal libre.
2. Según una curva lineal mínimo cuadrado
3. Según una curva parabólica libre. Considerar A(1,20), B(4,85), C(6,79)
4. Según una curva parabólica mínimo cuadrado
5. ¿Cuál de todas las curvas encontradas es la mejor curva de ajuste?

Solución.

a) Consideremos los puntos A(1,20) y B(6,79). Reemplazando en la ecuación

b) Comprobar que es: y = 5,49x + 33,29

c) Comprobar que es: y = – 4,93×2 + 46,33x – 21,40

d) Comprobar que es: y = – 0,08×2 + 6,07x +32,52

e) Comprobar que la mejor curva de ajuste de las cuatro anteriores es la curva parabólica por mínimos cuadrados.

Ejercicios.

1. La venta semestral en los primeros tres años, medidas en millones de pesos, de una empresa cuprífera está indicada en la tabla siguiente:

1. Determine una curva de tendencia lineal
2. Determine una curva parabólica de tendencia.
3. Construya un gráfico en el cual estén graficadas las curvas encontradas.
4. Determine cual de las curvas de tendencia es la mejor.
5. Indique cual es la tendencia de venta semestral hacia los próximos dos años, según su respuesta dada en el punto 1.4.

2. El costo mensual, en los meses impares, de una empresa manufacturera está indicada en la tabla siguiente:

1. Determine una curva de tendencia lineal.
2. Determine una curva parabólica de tendencia.
3. Construya un gráfico en el cual estén graficadas las curvas encontradas.
4. Determine cual de las curvas de tendencia es la mejor.

Regresión.

Def. La curva Y = aX + b, donde los valores de a y b se obtienen mediante el método de

mínimos cuadrados se denomina CURVA de REGRESIÓN LINEAL de y sobre X.

Obs.

– Análogamente se define X = aY + b como la CURVA de REGRESIÓN LINEAL de y sobre Y.

– Existen curvas de regresión parabólicas, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc…

Ej. Determine las curvas de regresión lineal de X y de Y de los datos dados en la siguiente tabla:

Solución.

– Regresión lineal de X.

Construyendo el sistema de ecuaciones lineales

Luego, la curva de regresión lineal de X es: Y[Mts.] = 0,032*X[Kgs.] + 0,0192.

– Regresión lineal de Y.

Construyendo el sistema de ecuaciones lineales

Luego, la curva de regresión lineal de

Y es: X[Kgs.] = 31,12*Y[Mts.] + (-0,0478)

= 31,12*Y[Mts.] – 0,0478.

Algunas estimaciones según estas curvas son:

• si X = 60 Kgs. Þ Y = 1,93 Mts.
• si Y = 1,70 Mts. Þ X = 52,85 Kgs.

Ejercicios.

1. Los datos entregados en la tabla corresponden a la producción de trigo, en quintales, de un agricultor.

1. Determine las curvas de regresión lineal de ambas variables.
2. Haga una tendencia de producción, hacia los próximos 5 años, según regresión lineal de la producción.
3. ¿Qué producción se espera para el año 2008?

2. Los datos entregados en la tabla corresponden al IPC anual.

2.1 Determine las curvas de regresión lineal de ambas variables.

2.2 Haga una tendencia del IPC hacia los próximos 10 años, según regresión lineal del IPC.

2.3 Según la curva encontrada en 2.1 ¿En qué año se espera un IPC de 0%?

Autor:

Prof. Carlos Valdes Villaseñor