o o o o o o ?E C UACIONE S RAC I ONA LE S Para la solución de este tipo de ecuaciones es necesario que el estudiante maneje adecuadamente los siguientes aspectos : Solución de ecuaciones de primer y 2do. grado Cálculo del Mínimo Común Múltiplo de polinomios Multiplicación y división de polinomios Factorización de polinomios Productos notables Valorar expresiones algebraicas (comprobación). Resulta esencial y ventajoso comprobar los resultados obtenidos de manera que se pueda descartar cualquier “solución ficticia” que podamos haber creado al realizar las operaciones. El paso anterior nos permite visualizar fácilmente la simplificación de la ecuación : X=-5 Para comprobar el resultado sustituyo este valor en la ecuación inicial y deberá cumplirse la igualdad : Las posibles soluciones que debemos descartar generalmente están representadas por los valores que anulan algún denominador (la división por cero no existe). Luego podemos afirmar que Ejemplo 2 : Resolver SI ES SOLUCIÓN Ejemplo 1 : Resolver Algunos autores y profesores recomiendan calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores de los términos que se encuentran en el miembro izquierdo de la ecuación. Se recomienda factorizar aquellos polinomios de segundo grado (y mayores) ya que nos permite visualizar más fácilmente las posibles soluciones. Al factorizar el numerador tendremos : Al considerar que este procedimiento genera dificultad a muchos estudiantes nos permitimos recomendar lo siguiente : En aquellos casos donde la ecuación presente dos términos es “más cómodo” colocar uno en cada miembro. APUNTES DE ALGEBRA (TOMO II) Ing. José Luis Albornoz Salazar – 118 –
y Esto facilita los cálculos ya que podemos “pasar a multiplicar” cada denominador al otro miembro : CIERTO Esto nos indica que X = 3 SI ES SOLUCIÓN Luego podemos reducir términos semejantes resultando: Se debe indicar que ambos valores ( – 1 y 3 ) resuelven dicha ecuación racional. Al aplicar la fórmula general de segundo grado o resolvente podemos determinar que los valores que anulan la ecuación anterior (raíces) son : Ejemplo 3 : Resolver X1 = – 1 X2 = 3 En aquellos casos donde la ecuación presente dos términos es “más cómodo” colocar uno en cada miembro. Comprobando con X1 = – 1 en la ecuación racional inicial : Esto nos indica que X = – 1 , para lo cual sustituyo este valor SI ES SOLUCIÓN Esto facilita los cálculos ya que podemos “pasar a multiplicar” cada denominador al otro miembro : Luego podemos resolver la ecuación de segundo grado resultante: Comprobando con X2 = 3 , para lo cual sustituyo este valor en la ecuación racional inicial : APUNTES DE ALGEBRA (TOMO II) Al aplicar la fórmula general de segundo grado o resolvente podemos determinar que los valores que anulan la ecuación anterior (raíces) son : Ing. José Luis Albornoz Salazar – 119 –
Factorizando el denominador del miembro de la izquierda : X1 = X2 = 1 Factorizando el numerador del miembro de la derecha : Comprobando con X = 1 , para lo cual sustituyo este valor en la ecuación racional inicial : Luego la ecuación puede ser expresada de la siguiente manera : El paso anterior nos permite visualizar fácilmente la simplificación de la ecuación : Como la división por cero no existe se dice que la ecuación racional estudiada NO TIENE SOLUCIÓN. Para comprobar el resultado sustituyo este valor en la ecuación inicial y deberá cumplirse la igualdad : Ejemplo 4 : Resolver Se recomienda factorizar aquellos polinomios de segundo grado y mayores ya que nos permite visualizar más fácilmente las posibles soluciones. Factorizando el numerador del miembro de la izquierda : Luego podemos afirmar que SI ES SOLUCIÓN APUNTES DE ALGEBRA (TOMO II) Ing. José Luis Albornoz Salazar – 120 –
Ejemplo 5 : Resolver Cuando la ecuación racional presente más de dos términos es necesario calcular el mínimo común múltiplo para poder “eliminar” los denominadores. Dividir el mínimo común múltiplo entre el denominador de cada término : El resultado anterior se debe multiplicar por el numerador del término respectivo. Para facilitar éste cálculo sigue siendo recomendable factorizar los polinomios de segundo grado y mayores que presente la ecuación. Factorizando el polinomio que tiene el segundo miembro de la Trabajando con el segundo término tendremos : derecha : Dividir el mínimo común múltiplo entre el denominador de cada término : Luego la ecuación puede ser indicada como : El resultado anterior se debe multiplicar por el numerador del término respectivo. Factorizado dicho polinomio resulta más fácil calcular el mínimo común múltiplo de los tres denominadores, que en este caso será : Trabajando con el tercer término tendremos : Una vez conocido el mínimo común múltiplo se pueden “eliminar” los denominadores con la utilización del procedimiento conocido por los estudiantes de este nivel que consiste en : o Dividir el mínimo común múltiplo entre el denominador de cada término. o El resultado anterior se debe multiplicar por el numerador del término respectivo. Trabajando con el primer término tendremos : Dividir el mínimo común múltiplo entre el denominador de cada término : El resultado anterior se debe multiplicar por el numerador del término respectivo. APUNTES DE ALGEBRA (TOMO II) Ing. José Luis Albornoz Salazar – 121 –
y Luego la ecuación quedará expresada de la siguiente manera Recordando el AXIOMA FUNDAMENTAL DE LAS ECUACIONES que dice que:”Si con cantidades iguales se realizan operaciones iguales (en ambos miembros de la ecuación), los resultados serán iguales”. Podemos decir que al multiplicar ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo anteriormente calculado se pueden eliminar los denominadores sin alterar la ecuación. Luego podemos afirmar que SI ES SOLUCIÓN Ejemplo 6 : Resolver Recordando el AXIOMA FUNDAMENTAL DE LAS ECUACIONES que dice que:”Si con cantidades iguales se realizan operaciones iguales Para comprobar el resultado sustituyo este valor en la ecuación inicial y deberá cumplirse la igualdad : (en ambos miembros de la ecuación), los resultados serán iguales”. Podemos decir que al multiplicar ambos miembros de la ecuación por (X – 2) se pueden eliminar los denominadores sin alterar la ecuación. La ecuación quedará expresada como : Que posee dos raíces : X1 = 2 X2 = – 2 APUNTES DE ALGEBRA (TOMO II) Ing. José Luis Albornoz Salazar – 122 –
Comprobando con X1 = 2 , para lo cual sustituyo este valor en la ecuación racional inicial : Ejemplo 7 : Resolver (Tomado con fines académicos de la página Web Matemática y Listo) Se dice que es falso porque la división por cero no existe. Esto nos indica que X = 2 Comprobando con X1 = – 2 en la ecuación racional inicial : Esto nos indica que X = – 2 NO ES SOLUCIÓN , para lo cual sustituyo este valor SI ES SOLUCIÓN APUNTES DE ALGEBRA (TOMO II) Ing. José Luis Albornoz Salazar – 123 –
Ejemplo 8 : Resolver (Tomado con fines académicos de la página Web Matemática y Listo) Ejemplo 9 : Resolver (Tomado con fines académicos de la página Web Matemática y Listo) APUNTES DE ALGEBRA (TOMO II) Ing. José Luis Albornoz Salazar – 124 –
; 2 = 2 ? E C UACIONE S IRRAC ION ALE S Las ecuaciones irracionales, o ecuaciones con radicales, son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical. Por ejemplo : Ejemplo 1 : Resolver Se elevan al cuadrado ambos miembros de la ecuación : ; ; Al elevar al cuadrado el miembro de la izquierda se elimina la raiz cuadrada, y al elevar al cuadrado el miembro de la derecha se obtiene 4: Para resolver una ecuación irracional se recomienda seguir los siguientes pasos : 1) Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales. Una vez eliminado el radical se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita : 2) Se elevan ambos miembros de la ecuación al índice que posea la raíz. X=4+8 X = 12 3) Se resuelve la ecuación obtenida. 4) Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la d ada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación (Se dice que al elevar ambos miembros al cuadrado podemos estar añadiendo una solución ficticia). Para comprobar el resultado debo sustituir el valor obtenido (X=12) en la ecuación inicial : Al verificar que se cumple la igualdad podemos afirmar que la 5) Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten los dos primeros pasos del proceso hasta eliminarlos todos. ecuación irracional se cumple “si y solo si” X = 12. APUNTES DE ALGEBRA (TOMO II) Ing. José Luis Albornoz Salazar – 125 –
y ; ; Ejemplo 2 : Resolver X1 = 8 X2 = 1 1ero. Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos 2do. Se elevan al cuadrado los dos miembros. 4to. Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación (Se dice que al elevar ambos miembros al cuadrado podemos estar añadiendo una solución ficticia). Comprobando con X1 = 8 , para lo cual sustituyo este valor en 3ero. Se resuelve la ecuación obtenida. la ecuación irracional inicial : ; Al elevar al cuadrado el miembro de la izquierda se elimina la raiz cuadrada, y al elevar al cuadrado el miembro de la derecha debemos recordar el producto notable que dice que el cuadrado de la diferencia de un binomio es igual al cuadrado del primer miembro menos el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo : 3X + 1 = X2 – (2)(X)(3) + (3)2 3X + 1 = X2 – 6X + 9 Una vez “eliminada” la raíz, la ecuación puede ser resuelta como una ecuación de segundo grado. 3X + 1 – X2 + 6X – 9 = 0 – X2 + 9X – 8 = 0 Al aplicar la fórmula general de segundo grado o resolvente podemos determinar que los valores que anulan la ecuación anterior (raíces) son : ; Esto nos indica que X = 8 Comprobando con X2 = 1 la ecuación irracional inicial : ; Esto nos indica que X = 1 ; SI ES SOLUCIÓN , para lo cual sustituyo este valor en ; NO ES SOLUCIÓN La ecuación irracional estudiada se resuelve con X = 8 APUNTES DE ALGEBRA (TOMO II) Ing. José Luis Albornoz Salazar – 126 –
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