Introducción 1 En la unidad anterior llegamos hasta la transformación de un problema digital en su equivalente tabla de verdad, en un formato binario, esto sería suficiente para construcción de sistemas que usen memorias de solo lectura (ROM), para realizar la implementación de estos sistemas con otro tipo de componentes (compuertas lógicas) es necesario tener una descripción algebraica de estos sistemas. De lo dicho anterior, podemos concluir que necesitamos el álgebra para: Interpretar o describir una red de compuertas que componen el sistema digital. Permite simplificar y minimizar la cantidad de lógica usada en un sistema. Es básica en el proceso de implementación de una red de compuertas.
Definición del Algebra de Conmutación 2 Es el conjunto axiomático que normaliza las operaciones que podrán existir en un ambiente con variables binarias, esto es, variables que puedan asumir únicamente dos valores, incluso, variables que físicamente no son binarias, pero pueden ser representadas en términos binarios.
Operadores del Algebra de Conmutación 3 OR (suma lógica) Símbolos: + , V a + b (se lee: a or b), y es 1 sí y sólo sí a=1 ó b=1 ó ambos. AND (producto lógico) Símbolos: . , ?, o simplemente dos variables seguidas a . b (se lee: a and b), y es 1 sí y sólo sí a=1 y b=1. NOT (negación, complemento, inversión) Símbolos: ’ a’ (se lee: not a , a negado), y es 1 sí y sólo sí a=0.
Tablas de verdad para las operaciones OR. AND y NOT 4
5 Propiedades del Algebra de Conmutación(Postulados y Teoremas)
Propiedad Conmutativa 6 Las operaciones OR y AND son conmutativas P1a. a + b = b + a P1b. a . b = b . A Note que el valor para las combinaciones en la tabla de verdad para las segundas y terceras líneas son iguales
Propiedad Asociativa (1) 7 Las operaciones OR y AND son asociativas P2a. (a+b)+c = a+(b+c) P2b. (a.b).c = a.(b.c) Esta propiedad es mencionada como la Ley Asociativa, declara que el orden de los factores no altera el resultado. Esta propiedad nos ayuda a establecer algunas particularidades de las operaciones OR y AND.
Propiedad Asociativa (2) 8 OR a+b+c+d+…. Es 1 si cualquiera de las variables es 1 y es 0 sólo si todas las variables son 0. AND abcd …. Es 1 si todas las variable son 1 y es 0 si cualquiera de las variables es 0.
Las compuertas (1) 9 Es el elemento básico en los sistemas digitales. Es un elemento con una sola salida que implementa una de las funciones básicas como AND y OR. Está disponibles en configuraciones de dos, tres, cuatro y ocho entradas.
Las compuertas (2) 10 Símbolos para OR y AND
Implementación para la propiedad 2b 11
Símbolo para la compuerta NOT 12 El circulo al final del triángulo es la representación de la negación
Identidad 13 Existen 2 elementos neutros, el 0 y el 1, cumpliéndose la propiedad en dos de los casos, quedando como 1 y 0 lógicos en los otros dos (ver teorema 2): P3a. a.1 = a (identidad) P3b. a+0 = a (identidad)
Nulo 14 Casos en que no se cumple la propiedad de elemento neutro, pero existen y se definen de esta forma. P4a. a.0 = 0 P4b. a+1 = 1
Complemento 15 Existe el elemento complementario para cada variable binaria y el resultado para cada operación es el que sigue. P5a. a + a’ = 1 P5b. a . a’ = 0
Idempotencia 16 La suma o producto de dos variables iguales equivale a la misma variable P6a. a+a = a P6b. a.a = a
Involución 17 Para todo elemento de un álgebra de boole se cumple que: P7. (a’)’=a
Distributiva 18 Ambas operaciones son distributivas P8a. a(b+c) = (ab)+(ac) P8b. a+bc = (a+b)(a+c) (Este postulado no existe para el álgebra común)
Adyacencia 19 Se define de la siguiente forma: P9a. ab + ab’= a P9b. (a+b)(a+b’) = a
Simplificación 20 Es una combinación de las propiedades distributivas y asociativas, se usa comúnmente en la simplificación de funciones. P10a. a + a’ b = (a’ + a) (a+b) = a+b P10b. a (a’ + b) = a’ a + a b = ab
Absorción 21 Ley de Absorción. P11a. a + ab = a P11b. a(a + b) = a
Ley de Moorgan 22 Ley De Moorgan. P12a. (a + b + c + …) ' = a' . b' . c' . … P12b. ( a . b . c. … ) ' = a' + b' + c' + …
23 Manipulación de Funciones Algebraicas
Conceptos importantes 24 Literal o variable Término de producto Término estándar de productos o minitérmino Sumatoria de productos Sumatoria canónica o sumatoria de términos de productos estándares. Sumatoria de productos mínima o expresión simplificada. Nota: cada uno de estos conceptos tiene un concepto dual para la suma.
La simplificación 25 El proceso de la simplificación consiste en aplicar los postulados y teoremas del álgebra de conmutación para llegar a la expresión más simple de la ecuación, está, se presentará normalmente en su forma de sumatoria de productos mínima.
Ejemplo de simplificación 26 F = xy’(z+x+zy’) F=xy’z+xy’x+xy’zy’ F=xy’z+xy’+xy’z F=xy’z+xy’ F=xy’ Simplificar: x’yz’ + x’yz + xy’z’ + xy’z + xyz
Sobre la simplificación 27 No existe una metodología para realizar la simplificación. Sólo la práctica es la manera de alcanzar la simplificación más óptima. La aplicación del álgebra de conmutación no garantiza el llegar a la simplificación óptima.
28 Implementación de Funciones con Compuertas
Redes con AND, OR y NOT 29 Una vez que se define la suma de productos mínima se debe de definir el diagrama lógico, compuesto por una red de compuertas que describan la función.
Ejemplo de un circuito de dos niveles 30
Niveles 31 El número de niveles corresponde al máximo número de compuertas que una señal debe pasar desde su entrada hasta la salida. En el caso anterior tenemos dos niveles, esto asumiendo que tenemos disponibles en la entradas los complementos de la literales, cuando no se dispone de los complementos es necesario complementar con compuertas NOT.
Problema 32 Diagrama de la suma de productos Diagrama de la suma de productos mínimo
Una red multinivel 33 Las redes multinivel son el resultado de implementar funciones que no estén en la forma ni de suma de productos ni de productos de sumas.
De la Tabla de Verdad a la Expresión Algebraica 34 En la mayoría de los casos, un problema digital es presentado en la forma de una declaración o como una tabla de verdad, esto nos obliga a tener la habilidad de llevar los datos de una tabla de verdad a una expresión algebraica. En la tabla de verdad, cada combinación de las variables de entrada corresponde a un termino de producto estándar. Es posible extraer una sumatoria de productos estándares sumando cada termino de producto cuyo resultado en la tabla de verdad es igual a 1.
Miniterminos 35 En la tabla se muestra la equivalencia entre las combinaciones de una tabla de verdad y los minitérminos que están asociados a cada uno de los productos estándares de una expresión algebraica. Los miniterminos pueden ser referidos también por sus números, que están mostrados en la columna de la derecha.
Ejemplo 1 36 La expresión algebraica será:
f(A,B,C) = Sm(1,2,3,4,5) = A’B’C+A’BC’+A’BC+AB’C’+AB’C f’(A,B,C) = Sm(0,6,7) = A’B’C’+ABC’+ABC Para la mayoría de los casos la suma de los minitérminos no representa la sumatoria mínima de productos.
Ejemplo 2, con condiciones irrelevantes (don’t care) 37 La expresión algebraica será:
f(a,b,c) = Sm(1,2,5) + Sd(0,3)
Problema 38 Desarrollar las expresiones algebraicas para EJE1, EJE2 y EJE3.
Finalización del proyecto EJE1 39 Z2= A’BCD+AB’CD+ABC’D+ABCD’+ABCD Z2 suma mínima = ACD+BCD+ABC+ABD Diagrama lógico
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