???, ? que significa todos ??2,????que significa todos x ? ???, ?que significa todos los números x ? ? ,???que significa todos los números 7/2 7/2 7/2 7/2 1. DESIGUALDADES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Hemos visto ecuaciones de 1º y 2º grados, en los cuales el número de soluciones era siempre finito, o sea, una solución, dos soluciones. En este tema veremos un concepto nuevo, el de inecuación, el cual consiste en hallar los valores que cumplan una cierta expresión (desigualdad) matemática. En este caso, por regla general el número de soluciones será infinito. Ecuación:
Inecuación: 7 2 7 2 2x ?3? 4 ? x ?
2x ?3? 4 ? x ? como podemos comprobar la solución es única.
en este caso vemos que hay infinitas soluciones, todos los valores de x menores o iguales que 7/2. Por otra parte, necesitamos “expresar matemáticamente” todos los valores de x menores o iguales que 7/2. Vamos a recordarlo. Había dos formas mediante intervalos y gráficamente: ? 7? ? 2? 7 2 x ? los números comprendidos entre -? y el número 7/2, incluyendo el número 7/2. Gráficamente sería una flecha que parte del número 7/2 y señala hacia la izquierda (todos los números que hay a su izquierda). Las demás situaciones posibles las podemos expresar: ?7 ? 7 2 x ? los números comprendidos entre el número 7/2 y el +?, incluyendo el número 7/2. Gráficamente sería una flecha que parte del número 7/2 y señala hacia la derecha (todos los números que haya a su derecha incluyendo el 7/2). 7 ? 7? 2 ? 2? comprendidos entre -? y el número 7/2, sin incluir al número 7/2. Gráficamente sería una flecha que parte del número 7/2 y señala hacia la izquierda (todos los números que hay a su izquierda sin incluirlo). 7 ?7 ? 2 ?2 ? comprendidos entre 7/2 y +?, sin incluir al número 7/2. Gráficamente sería una flecha que parte del número 7/2 y señala hacia la derecha (todos los números que hay a su derecha sin incluirlo).
Problema ejemplo.- En un vehículo se cargan tres contenedores de igual peso y un bidón de 230 kg. Si la carga máxima del vehículo es de 1.400 kg. ¿entre qué valores puede oscilar el peso de los contenedores? Planteamiento: 3x ?230?1400 Solución: x ? 390 Definición.- Una inecuación es una desigualdad en la que aparecen números y letras, llamadas incógnitas. ¿Para qué valores de x es cierto que … -6. Ejemplos de resolución de una inecuación, trata de explicar cada paso: x?2 ? 3x?8 x?3x ? 8? 2 3x?5 ? 3x?4 ?2x ?10 3x?3x ? ?4?5 10 0x ? ?9 ?2 no solución x ? ?5 ???,5? ??5,??? ahora un poco más difíciles: 2x ?4 ? 2?3x ?1? 2x ?4 ? 6x ?2 2x ?6x ? ?2?4 ?4x ? ?6 ?6 ?4 3 2 2x?1 3 2x?1 3 2x?1? ?18x?30 2x?18x ? 30?1 20x ? 31 31 20 ? 31? ? 20? x ? 2 5x 2 2 x ? 2 5x 2 2 ?6x ? x ? ?4?5x 2 x ? 2?6x ?6 ? ?4?5x 0x ? 0 Sol.? ? ???,?? observa si “un número negativo multiplica a la x, pasa dividiendo al otro miembro, pero CAMBIA el signo de la desigualdad. Ejercicios.- Resolver las siguientes inecuaciones : a) 2x?4 ? 0 b)3?5x?8 c) 2x ? 4?3x ?3 2 3 e) 3 2 x 2 j) 2?x?1??3?2x?1?? x?2?2? x? k) 3?2?2x?3?? 5?3?x?3?
2x ?3 5x ?1 3x m)5?x?2?? ?3?x?1??2x 3?x?1? ? x ? x?1 2?3x 4x?1 n) 3x?7?5?2x?3?? ? 2x? x ? 2 ?1? x ? 2 ?1? ??2,??? x ? 2 ?1? x ? ?1? x ? 2 ?1? ????,?1? 2x +1? 3x +2 ? x ?3 ? 0 ? 2(x ?1) ? x ?3? ? 2x ? 7 ? ?3 2 -1 2 -1 2 -1 2 -1 l) ? ? ? 1 3 ?1 x?1 2 8 2 4
2 2 x?3 ñ) ll) ? ? 10 5 2
4x?1 9 2 2 o) 2. Sistemas de dos inecuaciones y una incógnita
Nos encontraremos dos inecuaciones (normalmente) y se trata de encontrar los valores de la incógnita (x) que hacen que se cumplan las dos inecuaciones a la vez. Ejemplo : x ?5? 7? ? Se resuelven por separado y se representan sobre la misma recta real: Las soluciones de las inecuaciones son x ? 2 y x > -1 respectivamente. La solución del sistema será la de aquellos valores de la incógnita que son a la vez menores o iguales que el 2 y mayores que el – 1. O sea, números mayores que el –1 (por ejemplo –0,9999, -0,5, etc sin incluir al –1) y a la vez menores o iguales que el 2 (el 2, el 1,5, etc). El intervalo sería ??1,2 . Y gráficamente:
La solución del sistema sería donde coinciden las soluciones de las dos inecuaciones, es decir, en al intervalo (-1, 2].
Podemos encontrarnos otros tres tipos de soluciones: Ejemplo.- x ?5 ? 7? ? La solución es: x ? 2 ? x ? ?1? Ejemplo.- x ?5 ? 7? ? No tiene solución ya que: x ? 2 ? ? Ejemplo.- x ?5 ? 7? ? La solución es: x ? 2 ? x ? ?1? Ejercicio : Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones.
a) 3x -2 < x +4 ? ?
c) x ?5 ? 0 ? ? b) x ?1? 3x ?5 ? ? d) 2x ? 4 ? 0 x 2
x ?3? 0 ? 2x?3? 4 que el 4 y lo sustituimos en la ecuación x – Ejemplo.- Resolver 9x + 6x + 1 > 0, x ? ?6? 36?36 ?6?0 ?6 ?1 1 4 _ + + e) x ?5 ? 0 ? ? f) 2x ?3?1?3x? ? ? 3.- Inecuaciones de segundo grado y de orden superior.
2 valores de la x que hacen que el miembro de la izquierda sea positivo (>0). El procedimiento más sencillo consiste en factorizar el polinomio (encontrar las dos raíces por Ruffini o bien aplicando la 2 2 o negativo). 2 valores de x que igualan a 0 el polinomio, los restantes valores serán distintos de 0. Observa la recta real: El 1 y el 4 hacen 0 la ecuación, y los restantes números hacen que el resultado sea positivo o negativo, ¿y como lo sabemos?. Escogemos un número mayor 2 5x + 4 = (x – 1)(x – 4),o mejor en la ecuación factorizada y sólo debes anotar el signo del resultado. Tomemos el 5 y sustituimos: (5 – 1) · (5 – 4) es >0, luego positivo. Si escoges otro número mayor que 4 el resultado también será positivo. Entre el 1 y el 4 cogemos otro número (el 2) y sustituimos: (2 – 1) · (2 – 4) es 0, (menos por menos ,+) luego positivo. Si escoges otro número menor que 1, el resultado también será positivo. 2 y distinto de cero, luego desde el -? hasta el 1 (sin incluir al 1) y desde el número 4 (sin incluirlo) hasta el +?. ???,1???4,???. 2 Ejemplo.- Resolver x ?5x?4 ? 0 Nos vale la gráfica del ejercicio anterior, y hay que tener en cuenta que puede valer 0, luego la solución sería:???,1???4,??? 2 Ejemplo.- Resolver x2 ? x?6 ? 0, aplicando la fórmula para encontrar las dos soluciones: ?1?5 2 ? ?1? 1?24 2 x ? sol. x1 ? 2, x2 ? ?3. Observa la gráfica: Los valores negativos son los comprendidos entre –3 y 2 y valen cero en –3 y en 2. Luego la solución tiene la forma: ?3,2 2 18 18 18 3 ? ? ? solución única . Esto quiere decir que ese valor de la x es el único que iguala a 0 la inecuación, los restantes valores de x harán que sea
?, es decir, cualquier número real al sustituirlo dará positivo salvo el –1/3 que lo iguala a cero. -3 2 _ + +
Ejemplo.- Resolver 3x – 5x + 1 = 0, depejando x y posteriormente la expresamos ? ? ? ? ???,?2???0,2? Ejemplo.- Resolver 5×2 ?7x?3? 0 apliquemos la fórmula, 7 ? ?11 10 ? 7 ? 49?60 10 x ? No tiene solución , esto quiere decir, que no hay ningún valor de x que haga que eso valga cero, pero harán que sea distinto de cero (positivo o negativo), y será positivo o negativo, no las dos posibilidades pues NUNCA vale 0. Vamos a resolverla, tomamos un valor de x (siempre el 0 será el mas sencillo) y lo sustituimos en la inecuación. POSITIVO. Me piden que sea positivo o igual a cero (NUNCA) luego la solución es ?. 2 aplicamos la fórmula, ? sol. x1 ? , x2 ? 6 6 6 6 2 0, los dos valores que igualan a 0 son el 0 y el 4: Solución: ???,0???4,???. Ejemplo.- Resolver x2 ?4 ? 0 como la ecuación es incompleta, la resolvemos 2 factorizada: ?x?2??x?2?? 0, los dos valores de x que igualan a 0 son el 2 y el -2: Vamos a resolver las inecuaciones de grado superior a 2:
3 que el miembro de la izquierda sea negativo ( 0 b) x – x < 0 c) x – 6 < 0 e) x ?3×2 ?3x?1? 0 x ?1 x ?1 x ?1 x ?4 x ?9 x ?9 x ?9 x ?4 e) x – 2x – 4x + 8 > 0 g) x – 3x + 4x >= 0 i) x + 3x – 2x – 12x – 8 0 f) 2x + 3x – 3x – 2x = 0 q) 2x + 4x – 2x – 4x >0 p) x + 3x – 4x < 0 r) 3x + 18x +36x +24x > 0 Ejemplo.- Resolver x ?5 x ?3 ? 0, donde solo es positivo, luego la solución será: ???,?5???3,???. x ? 0 . El Ejemplo.- Resolver 2 numerador vale 0 en x = 0, y el denominador vale 0 (ya sabes que NUNCA puede valer 0) en 2 y en –2. Observa la gráfica. La solución estará formada por los valores de x que hacen que ese cociente sea negativo o igual a 0. ??,?2 ? 0,2 . Ejemplo.- Resolver
Ejemplo.- Resolver 2
2 x
x ? 0 .solo donde el cociente es positivo: ??2,0???2,???
? 0 .positivo o igual a 0: ??2,0???2,???. Ejercicio.- Resolver las siguientes inecuaciones: 2 3 4 d) x3 ?27 ? 0 3 f ) x3 ?8? 0 ? 0 x?1 x?1 g) ? 0 x?3 x?2 h) ? 0 x2 ?1 x i) ? 0 x2 ?1 x j) ? 0 x2 ?1 x?1 k) ? 0 x2 ?1 x2 l) ? 0
? 0 x2 ll) 2 2 ñ) 2 ? 0
? 0 x2 m) 2 2x?3 o) 2 ? 0
? 0 2 x?1 ?2 x?1 n)
p) ? 0 x2 q) 2 ? 0 x2 ?4 r) 2 ? 0 x2 ?3x x2 ?9 s) ? 0 x2 ?3x 2 t) ? 0 x3 ?9x x2 ?9 u) ? 0 x?2 v) 2 Ejercicio.- Resulve las siguientes inecuaciones.:
4 3 a) x + 3x – 4x > 0 4 3 2 c) x – 6x -11x + 96x – 80 < 0 3 2 4 3 4 3 2 k) 5×4 + 10×3 – 45×2 – 10x + 40