Problema.
Una barra de acero ASTM A537, está sometida a las cargas F1=200 kgf, F2=3/4·F1 con R=0.5 y con la configuración:
Con las orientaciones:
Y dimensiones geométricas:
Se quiere determinar si el elemento está diseñado para vida infinita, en caso contrario estimar el número de ciclos de vida finita del mismo.
Solución
Sistema equivalente de fuerzas en la sección correspondiente al corte Y-Y`.
Valores alternantes.
Fuerzas alternantes.
L(m) | 0,30 |
F1(N) | 1.960,00 |
F2(N) | 1.470,00 |
R(m) | 0,50 |
Fax(N) | 848,70 |
Fay(N) | 490,00 |
Fzmax(N) | 1.470,00 |
Fzmin(N) | 735,00 |
Faz(N) | 367,50 |
May(mN) | 110,25 |
Maz(mN) | 147,00 |
Mar(mN) | 183,75 |
Esfuerzos alternantes longitudinales.
Tracción.
Donde d=D-2R y Ktt es el concentrador de esfuerzo a tracción.
Flexión.
Donde d=D-2R y Kft es el concentrador de esfuerzo a flexión.
Esfuerzo alternante resultante.
Ktt | 2,30 |
Ktf | 1,90 |
Ktc | 1,40 |
sat(Pa) | 3.676.613,40 |
saf(Pa) | 202.330.339,58 |
sax(Pa) | 206.006.952,98 |
say(Pa) | 0,00 |
Esfuerzo alternante cortante.
Con la fuerza cortante resultante.
Se determina el esfuerzo alternante cortante resultante.
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Donde d=D-2R y Ktc es el concentrador de esfuerzo a corte (se toma el de torsión)..
V(N) | 612,50 |
taxy(Pa) | 1.615.093,06 |
Círculo de Mohr, esfuerzos alternantes.
El radio en el círculo de Mohr es:
El esfuerzo alternante medio.
Ra(Pa) | 103.016.138,03 |
sam(Pa) | 103.003.476,49 |
Los esfuerzos máximos y mínimos
samin(Pa) | -12.661,54 |
samax(Pa) | 206.019.614,52 |
El esfuerzo cortante:
El diagrama de τxy’ vs. σax'.
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Amplitud de los Esfuerzos Equivalentes máximos Alternantes (Criterio de Tresca).
s III=s amax
s eq_a=s III
s eq_a=206.019.614,52 Pa
Valores medios.
Fuerzas medias.
Fmx(N) | 848,70 |
Fmy(N) | 490,00 |
Fzmax(N) | 1.470,00 |
Fzmin(N) | 735,00 |
Fmz(N) | 1.102,50 |
Mmy(mN) | 330,75 |
Mmz(mN) | 147,00 |
Mmr(mN) | 361,95 |
Esfuerzos alternantes longitudinales.
Tracción.
Donde d=D-2R y Ktt es el concentrador de esfuerzo a tracción.
Flexión.
Donde d=D-2R y Kft es el concentrador de esfuerzo a flexión.
Esfuerzo alternante resultante.
Ktt | 2,30 |
Ktf | 1,90 |
Ktc | 1,40 |
sat(Pa) | 3.676.613,40 |
saf(Pa) | 202.330.339,58 |
sax(Pa) | 206.006.952,98 |
say(Pa) | 0,00 |
Esfuerzo medio cortante.
Con la fuerza media cortante resultante.
Se determina el esfuerzo medio cortante resultante.
Donde d=D-2R y Ktc es el concentrador de esfuerzo a corte (se toma el de torsión)..
V(N) | 1.206,49 |
tmxy(Pa) | 3.181.364,38 |
Esfuerzos medios (Von Misses).
s eq_m=402.258.904,79 Pa
Con el criterio que A es constante:
Se determina la resistencia media para N=10^6 en la línea de Goodman.
Analíticamente si el coeficiente de seguridad 
es menor de 1, significa que los esfuerzos a que está solicitado el material superan al límite de fatiga, por tanto, el mismo tiene un comportamiento en vida finita y se procede a calcular el número de ciclos, siempre y cuando no se supere el límite de fatiga de 10^3 ciclos.
Límite S106 (Sn).
Su(Pa) | 485.000.000,00 |
SY(Pa) | 345.000.000,00 |
kb | 0,50 |
Cs | 0,78 |
CL | 0,90 |
Ct | 1,00 |
Cd | 0,90 |
q(Peterson) | 0,75 |
Kt | 2,30 |
Kf | 1,98 |
Sn(Pa) | 77.575.443,04 |
Se determina el coeficiente de seguridad.
A | 0,51 |
Sm(Pa) | 115.421.420,41 |
n | 0,29 |
Tiene vida finita, se calcula el límite de S10^3·.
Gráficamente.
Puede observarse que las solicitaciones a que se encuentra la barra, están por encima de línea de Goodman. Por lo que se tiene vida finita, para estimar el número de ciclos de vida con confiabilidad del 50%, se construye el diagrama S-N, o se determina analíticamente los ciclos de vida N.
Límite S103 .
CL' | 0,75 |
Ct | 1 |
S10^3(Pa) | 363.750.000,00 |
Número de ciclos en vida finita hasta la fractura con una confiabilidad del 50%.
a(Pa) | 1.705.617.877,49 |
b | -0,22 |
N(ciclos) | 12.697,56 |
Gráficamente.
Se diagrama la relación de esfuerzo alternante en fatiga Sf contra N(ciclos), en la intersección con el esfuerzo equivalente alternante, se tiene a Na (ciclos de vida con confiabilidad de 50%.
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Donde se observa N=1.27E10 ciclos de vida, valor previamente calculado.
Otros casos.
Siguiendo los mismos procedimientos y criterios, se determinará la relación existente entre diferentes valores de longitud y la vida a la fatiga del elemento en análisis (barra Φ=3 cm), los resultados parciales se pueden observar en el anexo, donde se muestran valores característicos, para longitudes entre 0.6m y 0.03m.
Relación entre longitud (L), número de ciclos(N) y coeficiente de seguridad(n).
En la figura a puede observarse las relaciones de N y n en función de la longitud de la barra, igualmente en la figura b, se aprecian los valores de esfuerzos equivalentes alternantes y medios, indicándose los valores de Sn y S10^3, contra la longitud de la barra.
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Diagrama a
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Diagrama b
Conclusiones.
Zona de vida finita.
Se verifica para longitudes entre 0.09 m hasta 0.48 m, en el primer límite según los valores del coeficiente de seguridad (figura a), se hacen menores de 1 y la resistencia alternante no es mayor que el esfuerzo alternante, 
o en la figura b, cuando se encuentra σa_eq=Sn=7.76E7 Pa.
La longitud máxima es de 0.48 m, dado que es el valor para cuando se alcanza (figura b) el límite de S10^3 (3.27E8 Pa), o en la figura a, cuando se llega a 10^3 ciclos.
Zona de vida infinita.
Valores de longitud entre 0.03 m y 0.09 m, donde se tiene del diagrama a, coeficientes de seguridad entre 1 y 3 o N ciclos mayores de 10^6. En el diagrama b, los valores de esfuerzos equivalentes alternantes por debajo del límite Sn.
Anexo.
L(m) | 0,60 | 0,50 | 0,45 | 0,35 | 0,30 | 0,25 | |
D(cm) | 3,00 | 3,00 | 3,00 | 3,00 | 3,00 | 3,00 | |
r(mm) | 2,00 | 2,00 | 2,00 | 2,00 | 2,00 | 2,00 | |
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Autor:
Javier Antonio Cárdenas Oliveros
Maestría en Ingeniería Mecánica
Universidad Simón Bolívar