Introducción
El propósito de este artículo es describir un procedimiento de cálculo que permita obtener de forma aproximada suficientemente aceptable la expresión cuantitativa de una banda de absorción simétrica de un espectro de absorción a partir de una expresión generalizada simple (banda normalizada) mediante el uso de sencillas reglas de transformación que, en definitiva, permiten la expresión matemática aproximada de una banda, o superposición de varias, con un número reducido de parámetros.
Características de la banda normalizada
Como banda normalizada de referencia se define la curva compuesta de tres intervalos de sendas funciones y1, y2, y3 de las que se indican su expresión y el intervalo de la variable independiente x en las que se utilizan
y1 = 2(x+1)2 -1< x <0,5
y2 = -2 x2 + 1 -0,5< x < 0,5
y3 = 2(x – 1) 2 0,5< x < 1
La figura 1 muestra las características de la banda normalizada así definida.
Figura 1.- Características de la banda normalizada
La siguiente tabla muestra el encabezamiento de una hoja de cálculo dispuesta para obtener la expresión de la banda normalizada determinada por las expresiones y1, y2 e y3 con su correspondiente acotamiento. En la columna A se introducen como datos de entrada los valores de la abcisa x (entre -1 y +1). Las columnas de C ,D,F, G describen las funciones componentes de la banda con su correspondiente acotación. Por último las columnas I,J corresponden a las coordenadas x,y de la banda normalizada obtenida.
Tabla 1.- Encabezamiento de una hoja de cálculo dispuesta para la obtención de la función de una banda normalizada
La figura 2 muestra la gráfica de la banda normalizada obtenida por el procedimiento de cálculo anteriormente descrito con el desarrollo del cálculo mediante las funciones incorporadas a la hoja de cálculo de la tabla 1
Figura 2.- Gráfica de la banda normalizada propuesta
Normalización de una banda
Se describe a continuación el proceso de obtención de una banda normalizada asociada a una determinada banda simétrica a estudiar . Sea una banda simétrica con las siguientes magnitudes características:
Xo | Abcisa de inicio de la banda | ||
Ym | Ordenada máxima | ||
X(1/2) | Abcisa de ordenada Ym/2 | ||
Xf | Abcisa final de la banda | ||
Xm | Abcisa de Ym | ||
Los valores numéricos de la banda normalizada correspondientes a los parámetros de la banda a ensayar anteriormente descritos son los siguientes
Datos de la banda | Correspondencia banda normalizada |
Xo | -1 |
Xm | 0 |
X(1/2) | 0,5 |
Xf | 1 |
Ym | 1 |
La siguiente figura ilustra gráficamente la correspondencia entre banda origen y su correspondiente banda normalizada asociada
Figura 3.- Descripción gráfica de la relación entre los parámetros de una banda y la de su correspondiente banda normalizada.
Obtención de una banda teórica a partir de una banda normalizada
Si el procedimiento de obtención de una banda normalizada a partir de datos significativos obtenidos de una banda real se invierte es posible obtener a partir de esta una banda teórica que describe aproximadamente
el comportamiento global de la banda experimental. Si llamamos x,y las coordenadas de la banda normalizada, las coordenadas X,Y de la banda teórica se obtendrán a partir de aquellas por las siguientes expresiones
X=Xm+Abs(Xm-X1/2) x /0,5 Y= Ym · y
ecuaciones que nos permiten obtener las coordenadas de la banda teórica X,Y a partir de la banda normalizada y los parámetros del espectro experimental Xm, X ½, Ym. La siguiente tabla muestra el encabezamiento de una hoja de cálculo dispuesta para la obtención de una aproximación a una banda real obtenida a partir de la expresión de una banda normalizada mediante las reglas de transformación descritas. Las dos primeras filas se dedican a entradas de los parámetros significativos de la banda real. A partir de la fila 4 se introduce el proceso de cálculo de las tres partes de la banda normalizada en las columnas A-G. Las columnas I-J expresan los valores propuestos de aproximación teórica a la banda real.
Tabla 2.- encabezamiento de una hoja de cálculo preparada para la obtención de una propuesta de banda teórica aproximada a partir de los parámetros Xm, X1!2 e Ym de una banda real
Estudio de superposición de bandas próximas
Aplicaremos el proceso de cálculo descrito al estudio de la variación de la forma de un espectro formado por la superposición de dos bandas simples de la misma amplitud y diferente intensidad al modificar la separación de sus máximos. Las características de las dos bandas componentes son las siguientes:
Banda 1: banda fija con parámetros Xm=3, X1/2= 3,5, Ym=2
Banda 2: Banda de intensidad Ym=1, de la misma amplitud que la anterior y con valor de Xm creciente de 1 a 4 y de X1/2 de 1,5 a 4,5 respectivamente.
La siguiente figura muestra las gráficas de las composiciones de bandas obtenidas para los parámetros característicos de las bandas componentes Xm, X1/2 e Ym que se indican
Figura4.- Superposición de dos bandas de la misma amplitud y diferente intensidad en diferentes grados de separación
Haz de bandas con punto isosbéstico
Otro caso interesante de superposición de bandas próximas lo constituye el formado por un haz de espectros con un punto isosbéstico. Se explica la existencia del punto de concurrencia de la absorbancia a una determinada longitud de onda (punto isosbéstico) si la contribución al espectro total se debe exclusivamente a 2 especies complementarias de un mismo sistema cada una de ellas con su correspondiente banda asociada. En el caso de que las dos bandas constituyentes sean bandas simples simétricas la aplicación del proceso de cálculo descrito permitirá describir el conjunto de bandas del sistema en función de los parámetros de las bandas componentes y de la proporción relativa de las dos especies complementarias.
Sean
C1,C2 concentraciones de cada una de las especies 1 y 2
A1, A2 absorbancias de cada especie a la concentración del sistema (C1+C2)
A absorbancia de la mezcla de concentraciones C1 y C2 de cada componente
F1 = C1/(C1+C2) fracción molar del componente 1
La absorbancia A de una determinada mezcla complementaria de las especies 1 y 2 vendrá dada por la expresión
A= A1· C1/C1+C2) + A2·C2/(C1+C2)
o bien, teniendo en cuenta la definición de F1
A = A1·F1 + A2(1-F1)
Esta expresión nos permite obtener el valor de la absorbancia de una mezcla de componentes 1 y 2 de fracción molar F1 del componente 1 a partir de los valores de las absorbancias para cada longitud de onda de las bandas componentes 1 y 2 consideradas aisladamente.
La siguiente figura muestra el resultado del proceso de cálculo de un sistema isosbéstico determinado por la composición de dos bandas de las siguientes magnitudes características.Cada una de las gráficas corresponde a un valor de la fracción molar de la especie responsble de la banda 1 indicada en el margen (f1)
Figura 5.- Descripción teórica de un sistema de espectros con punto isosbéstico
Autor:
Antonio Quirante Candel