Centro de masa para un sistema de partículas y cuerpos rígidos

Centro de masa para un sistema de partículas y cuerpos rígidos

El concepto de centro de masa es útil para describir el movimiento de objetos o de sistemas de partículas. Dicho centro de masa representa el movimiento de todo el cuerpo o sistema de partículas. Cuando el cuerpo es homogéneo y tiene simetría entonces el centro de masa coincide con su centro de simetría.

a) Si existen n partículas con masas m1, m2, . . . mn respectivamente el centro de masa se define:

b) Para el caso de un cuerpo continuo:

Desde el punto de vista de una notación vectorial:

Por lo tanto:

Movimiento del centro de masa partiendo del caso discreto.

Derivando ambos lados de la igualdad con respecto al tiempo, resulta:

Derivando la expresión anterior con respecto al tiempo, resulta:

Por lo tanto:

Es decir:

La masa total del sistema de partículas esta concentrada en el centro de masa y se considera que la suma de fuerzas externas se aplican en dicho punto.

Ejemplo 1 ¿Calcular el centro de masa de un alambre delgado con densidad uniforme?.

Solución.

Considerando la siguiente figura:

Considerando el caso de un cuerpo continuo a lo largo de X, se considera:

(1)

Dado que el alambre tiene una densidad lineal uniforme (, entonces:

(2)

Considerando la relación (2) en (1), resulta:

Resolviendo:

Por lo tanto:

Ejemplo 2 ¿Calcular el centro de masa para un alambre recto de 25 cm de longitud en donde la densidad de masa esta dada por la función: ( (x) = K x2, donde K es una constante?.

Solución.

A partir de la definición para calcular el centro de masa para un cuerpo continuo, dado por la siguiente expresión:

(1)

Dado que el alambre tiene una densidad lineal dada por: ( (x) = K x2.

Ahora también se satisface:

(2)

Sustituyendo ( en la ecuación (2), resulta:

(3)

Combinando las ecuaciones (1), (2) y (3) resulta:

Por lo tanto:

Ejemplo 3 ¿Calcular el centro de masa de una placa rectangular delgada con una distribución de masa uniforme?.

Solución:

Considerando la siguiente figura:

Considerando un elemento de área: dA = L2 dx (véase figura anterior), partiendo de la definición:

(1)

En el presente caso se establece la relación:

(4)

Sustituyendo la ecuación (4) en (1) resulta:

Por lo tanto:

En forma análoga para calcular y C M:

Ahora dA = L1 dy, entonces sustituyendo en la relación anterior se obtiene:

Por lo tanto:

Ejemplo 4 ¿Calcular el centro de masa de un conjunto de placas delgadas con una distribución de masa uniforme?, como se muestra en la siguiente figura:

Solución:

Ejemplo 5 ¿Calcular el centro de masa de cuarto de circulo de radio R?.

Solución:

Considere la siguiente figura:

Por lo tanto:

Por lo tanto:

BIBLIOGRAFÍA.

-Alonso M y Finn E Física Vol I Mecánica Edit. Addison- Wesley Iberoamericana (1970)

– McGill D. y King W Mecánica para ingeniería y sus aplicaciones II Dinámica Edit Grupo editorial Iberoamericana (19991)

-Resnick R., Holliday D., Fìsica vol. 1, CECSA, 1993

-Ingard U., Kraushaar W.L., Introducción al estudio de la mecánica, materia y ondas, Edit, Reverte, 1960.

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Autor:

José Jesús Mena Delgadillo