Orden de multiplicidad de los ceros reales aproximados de un polinomio real

Se supone que todas las funciones polinomio consideradas son grado mayor que cero.

Teorema 1:

Demostración:

Teorema 2:

Demostración:

Dado que

, de (2) resulta (4).

Teorema 3:

De la misma manera se puede demostrar el teorema siguiente:

Teorema 3':

Teorema 4:

Observación:

Lema 1:

Demostración:

Observación 2:

Observación 3:

Lema 2:

Teorema 5:

Demostración:

Teorema 6:

Demostración:

Observación 4:

Obviamente, depende de la extracción del cubrimiento finito (16), operación que podría hacerse de distintas maneras.

Observación 5:

Teorema 7:

Demostración:

Teorema 8:

Demostración:

Supongamos que esto no es así, es decir,

Teorema 9:

Demostración:

Observación:

Observación 7:

Teorema 10:

Demostración:

Aplicando el teorema 2 para las funciones polinomios:

, sucesivamente, resultarán las desigualdades (36).

Teorema 11:

Demostración:

Observación:

Public Function OrdMult(ByRef px() As Double, ByVal a As Double, ByVal c as double)

Dim i As Integer, j As Integer, k As Integer

Dim ed As Double, fd As Double, gx As Integer

Dim t1() as double, t2() as double, pxd() as double

gx = UBound(px())

Redim pxd(gx-1)

For i=0 to gx-1

Pxd(i)=gx-i)*px(i) " Cálculo del polinomio derivado

Next i

t1()=px():t2()=pxd()

k = 0

Do

For j = 0 To gx – k

t1(j) = (gx – k – j) * t1(j)

Next j

For j = 0 To gx – 1 – k

t2(j) = (gx – 1 – k – j) * t2(j)

Next j

fd = t1(0)

For i = 1 To gx – k

fd = fd * a + t1(i)

Next i

If k <> gx – 1 Then

ed = Abs(t2(0))

For i = 1 To gx – 1 – k

ed = ed * Abs(a) + Abs(t2(i))

Next i

ed = ed * c

Else

ed = 0

End If

If Abs(fd) > ed Then

Exit Do

Else

k = k + 1

End If

Loop

OrdMult = k

k=k+1

End Function

Observación:

Autor:

Aladár Péter Sántha