APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar – 48 – ?ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA :
Una ecuación de segundo grado es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2. Así, 4X2 + 7X + 6 = 0 es una ecuación de segundo grado. Ecuaciones completas de 2do. grado son ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0, que tienen un término en x2, un término en x y un término independiente de x. Así, 2X2 + 7X – 15 = 0; X2 – 8X = – 15 ó 3X2 = 6X + 9 son ecuaciones completas de 2do. grado.
Ecuaciones incompletas de 2do. grado son ecuaciones de la forma ax2 + c = 0 que carecen del término en x o de la forma ax2 + bx = 0 que carecen del término independiente. y 3X2 + 5X = 0 son ecuaciones incompletas Así, X2 – 16 = 0 de 2do. grado. Raíces de una ecuación de segundo grado son los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación.
Toda ecuación de 2do. grado tiene dos raíces. Así, las raíces de la ecuación X2 – 2X – 3 = 0 son X = 3 y X = – 1, ambos valores satisfacen esta ecuación.
Resolver una ecuación de 2do. grado es hallar las raíces de la ecuación.
La fórmula para resolver una ecuación de 2do. grado es :
APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar – 49 – Esta fórmula nos dará dos raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0 (porque salen dos valores de x según se tome el valor de la raíz cuadrada de b2 – 4ac con signo positivo o negativo ±).
El valor de “a” será el coeficiente del término en x2 en la ecuación.
El valor de “b” será el coeficiente del término en x en la ecuación (en las ecuaciones incompletas del tipo ax2 + c = 0 se asume que el valor de b = 0).
El valor de “c” será el término independiente de la ecuación (en las ecuaciones incompletas del tipo ax2 + bx = 0 se asume que el valor de c = 0). .
Ejemplo 1 : Resolver la ecuación 2X2 – 4X = 6 Primero se ordena la ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0
2X2 – 4X – 6 = 0
Se identifican los valores de a, b y c. a=2 ; b= – 4 ; c= – 6 Se introducen estos valores en la fórmula
Para evitar errores con el manejo de los signos negativos se recomienda que, antes de introducir los valores dentro de la fórmula anterior, primero se indiquen paréntesis en el espacio donde va cada letra. y se resuelve la Ahora se introducen los valores de a, b, c ecuación : X=3 y Las raíces de la ecuación 2X2 – 4X – 6 = 0 son X = – 1, porque ambos valores satisfacen esta ecuación.
Ejemplo 2 : Resolver la ecuación 2X2 – 4X = 0 Se identifican los valores de a, b y c. a=2 ; b= – 4 ; c=0 Se introducen estos valores en la fórmula
APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar – 50 – Las raíces de la ecuación 2X2 – 4X = 0 son X = 2 y X = 0, porque ambos valores satisfacen esta ecuación. Ejemplo 3 : Resolver la ecuación 2X2 – 8 = 0 Se identifican los valores de a, b y c. a=2 ; b=0 ; c= – 8 Se introducen estos valores en la fórmula Las raíces de la ecuación 2X2 – 8 = 0 son X = 2 y X = – 2, porque ambos valores satisfacen esta ecuación.
Ejemplo 4 : Ejemplo 5 : Ejemplo 6 :