Donde: n = 1, 2, 3, 4 … tienen forma única de escritura en el sistema de numeración binario (base 2) y por lo tanto tienen forma única de escritura en forma polinómica donde solo se usen potencias de 2, lo anterior se concluye de la correspondencia que existe entre la forma binaria y la forma polinómica que usa solo potencias de 2.
En conclusión
Y podríamos continuar, podemos observar que la descomposición en factores primos de un número de la forma:
En cuanto a los números que no tienen la forma anterior podemos decir que todo número entero positivo se puede escribir es forma única en el sistema binario, y por lo tanto se lo puede escribir de forma única como una suma de potencias de dos. A esta suma de potencias de dos la llamamos expansión Polinómica en base 2, en esta expansión Polinómica solo se utiliza términos positivos. Por ejemplo:
Si al factorizar la expansión polinómica en base 2 de un número "x" no obtenemos enteros positivos diferentes de uno o de "x" el número "x" es primo.
Ejemplos:
El número: 41 es primo porque no podemos factorizar su forma Polinómica en base 2 para obtener factores numéricos que sean enteros positivos diferentes de 1 y 41.
El número 17 es primo porque no podemos factorizar su forma Polinómica en base 2 para obtener factores numéricos positivos enteros diferentes de 1 y 17. Podemos factorizar pero no obtenemos factores numéricos que sean enteros positivos:
Los siguientes números no son primos porque podemos factorizar su forma polinómica en base 2 y obtener factores numéricos que son números enteros positivos diferentes de uno y del número inicial:
Por cualquier método que se intente factorizar no se obtienen factores que sean números enteros positivos diferentes de uno y del número dado, por ejemplo:
– Métodos de adición y sustracción para completar expresiones como trinomio cuadrado perfecto y similares como el pentanomio bicuadrado perfecto (expresiones que nos lleven a las formas:
exigen extraer raíces lo cual hace que no se obtengan factores numéricos enteros.
– No se puede intentar factorizar usando cocientes notables.
– No se puede factorizar descomponiendo potencias de 2 para luego realizar factorización por agrupación para buscar factores comunes porque los grupos no coinciden en el número de términos.
– Tampoco se puede como suma de cuadrados o como suma de potencias iguales con exponente 4 ó 8 ó 16 ó 32, etc.
Llamaremos a estos números: los primos super impares:
Este conjunto de números primos es infinito:
Y así podemos seguir, veamos cuantos dígitos tendría
A continuación realizo una demostración de esta afirmación:
Demostración:
La demostración la realizaremos por contradicción:
No conocemos los valores de a y b pero sabemos que son números pares positivos.
Entonces:
La anterior igualdad es una contradicción ya que para un determinado valor de "n", t = 2, 4, 8, 16, 32 , es decir " t " es par (para calcular dicha raíz "t" par, dependiendo del valor de "n" se debe extraer sucesivas raíces cuadradas, ejemplo:
La expresión de la izquierda es un número entero mientras que la de la derecha no lo es, por lo tanto hemos llegado a una contradicción.
Segundo caso: "a" es diferente de "b " como la expresión es simétrica (se puede conmutar "a" con "b" y la expresión no se altera) podemos llamar "a" al número par mayor y "b" al número par menor.
Entonces siempre podemos encontrar un par de números enteros positivos: p y q (primos relativos entre sí, es decir: M.C.D (p,q) = 1 ) tal que:
Nuevamente podemos ver una contradicción en esta ecuación, mientras que en el lado izquierdo de la igualdad tenemos el "2" que es un número entero, en el lado derecho tenemos un radical con índice par, para que la raíz sea exacta necesitamos que la expresión sea un trinomio cuadrado perfecto ( ya que los índices de la raíz son: t= 2,4,,8,16… y para extraer estas raíces se lo puede hacer por medio de raíces cuadradas sucesivas y lo que queremos hacer es extraer la primera raíz cuadrada y luego las demás en el caso de tener que extraer más raíces cuadradas), entonces la expresión contenida dentro del radical no es un trinomio cuadrado perfecto para ningún valor de k, esta expresión se acerca un poco a un trinomio cuadrado perfecto pero no lo es, por lo tanto esta expresión no tiene como raíz un número entero, mucho menos el número "2".
La expresión:
nunca es un trinomio cuadrado para: "p" y "q" primos relativos con "p" mayor que "q" y "k" = 1, 2, 3, 4, etc. Para que esta expresión llegue a ser un trinomio cuadrado perfecto en "k" debería tener tres términos, y con los dos términos que tiene (faltando el último término) tampoco cumple parcialmente el requisito en el cual el término del centro debe ser el doble producto de las raíces del primer y tercer término.
De todas formas la expresión:
con: "p" y "q" primos relativos con "p" mayor que "q" y "k" = 1, 2, 3, 4, etc. Nunca será un trinomio cuadrado perfecto en "k" y por lo tanto no tendrá ni la primera raíz cuadrada exacta.
Como la expresión:
tiene tres términos y depende de tres variables: "p", "q" y "k", podemos forzarla a ser un trinomio cuadrado y ver qué pasa, para ello solo podemos realizar tres buenos intentos suponiendo que la expresión:
sea un trinomio cuadrado perfecto, pero en todos tres intentos llegaremos a contradicciones:
El primer intento es considerar que el término central de la expresión:
En la anterior igualdad en el lado izquierdo tenemos una potencia de "2" y en el lado derecho una expresión que para cualquier valor de "k" = 1,2,3,4,…etc. Nunca será una potencia de "2". Por lo tanto llegamos a una contradicción y nunca el lado izquierdo de la igualdad será igual al lado derecho.
Obtuvimos una forma similar a la anterior.
En la anterior igualdad en el lado izquierdo tenemos una potencia de "2" y en el derecho una expresión que para cualquier valor de "m" = 1,2,3,4,…etc. Nunca será una potencia de "2". Por lo tanto llegamos a una contradicción y nunca el lado izquierdo de la igualdad será igual al lado derecho.
Nuevamente hemos llegado a una contradicción en el lado izquierdo de la igualdad tenemos un número entero que es una potencia de dos, pero en el lado derecho de la igualdad tenemos una expresión que para cualquier valor de "k" = 1,2,3,4…etc. Nunca será una potencia de 2 entera. Por lo tanto el lado derecho de la igualdad nunca es igual al lado izquierdo.
Observaciones, anotaciones y aclaraciones:
Los números primos super impares:
son infinitos, esto demuestra que los números primos son infinitos.
Los números primos super impares también se los puede calcular mediante una fórmula recursiva en donde el número primo super impar se puede calcular a partir del anterior número primo super impar:
Demostración:
Lo importante de utilizar la expansión polinómica en base dos para representar cualquier número es que es una forma única de representar un número debido a la correspondencia de la expansión polinómica en base 2 con el sistema de numeración binario en el cual cada número se escribe en forma única. Esto permite tener una seguridad del 100% para afirmar que si no podemos factorizar la forma polinómica en base dos de un número obteniendo factores enteros positivos diferentes de uno y del número dado entonces el número será primo.
Para calcular el número de cifras de un número primo super impar utilice el siguiente proceso:
De lo anterior podemos concluir que el número de cifras de una potencia de diez donde el exponente es un número entero mayor o igual que cero se calcula así:
El exponente es C = 2,903089… pero es el exponente de una potencia de 10 por lo tanto nos dará la información del número de cifras del número m = 800 que es de 3 cifras. De este ejemplo podemos deducir que:
Número de cifras de un número positivo = 1 + Parte entera de "C" C= log m, es decir:
Número de cifras de ( m ) = 1 + Parte entera de ( log m )
En nuestro ejemplo:
Número de cifras de 800 = 1 + parte entera de (Log 800) = 1 + parte entera de (2,903089…) = 1 + 2 = 3Veamos otro ejemplo: Cúal es el número de cifras de 99.998 (sabemos que es 5):
Número de cifras de (99.998) = 1+ parte entera de (log 99.998) = 1 + parte entera de (4,9999913…)
Número de cifras de (99.998) =1 + 4 = 5
Ahora veamos cómo se puede calcular el número de cifras que tiene un número primo super impar: comencemos analizando en que número terminan las potencia de "2":
Los números que corresponden a potencias de dos (con exponente entero positivo) solo terminan en: 2, 4 ,8 ó 6.
Si a cada número que corresponde a una potencia de dos le aumentamos uno, solo lograremos cambiar su última cifra de: 2 a 3, de 4 a 5, de 8 a 9, ó de 6 a 7 pero nunca lograremos aumentar su número de cifras:
Debido precisamente a que los super pares son potencias especiales de "2" que solo se factorizan con números que son potencias de "2" al agregar uno se daña esto, lo cual garantiza que el número sea infactorizable como el producto de dos números impares mayores que uno.
Por ejemplo el número: 256 es un super par: 256 = (1)(256)= (2)(128)= (4)(64)= (8)(32)= (16)(16)
Al adicionarle uno se convierte en un primo super impar: 256 + 1 = 257
El "256" era un número super completo en este sentido:
256 = (16) (16), el 16 a su vez es otro super par.
16 = (4)(4), el 4 es a la vez otro super par.
4 = (2) (2) , el 2 es super par, es decir:
256 = (16)(16) = (4)(4)(4)(4)= (2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)
Cada número super par es igual al cuadrado del número super par anterior pero al sumarle uno se lo descuadra totalmente al punto que se convierte en primo. Además el número "2" es el menor super par y el 2 es el único número que es par, es primo y ahora: super par y primo. Por ello usé el sistema binario y la forma polinómica de un número usando potencias de "2".
El descubrimiento de los números primos super impares lo realicé el domingo 3 de abril de 2.016.
Autor:
Serafín Ortega Moreano.
San Juan de Pasto (Departamento de Nariño – Colombia)