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Momento de inercia

    edu.red ? ? ? ? ? ? MOMENTO DE INERCIA El Momento de Inercia, también denominado Segundo Momento de Área; Segundo Momento de Inercia o Momento de Inercia de Área, es una propiedad geométrica de la sección transversal de los elementos estructurales. Inercia : La inercia es la propiedad de la materia de resistir a cualquier cambio en su movimiento, ya sea en dirección o velocidad. Inercia a la Rotación : Cualquier cuerpo que efectúa un giro alrededor de un eje, desarrolla inercia a la rotación, es decir, una resistencia a cambiar su velocidad de rotación y la dirección de su eje de giro. La inercia de un objeto a la rotación está determinada por su Momento de Inercia, siendo ésta „?la resistencia que un cuerpo en rotación opone al cambio de su velocidad de giro??. Momento de Inercia. Ejemplo : El momento de inercia realiza en la rotación un papel similar al de la masa en el movimiento lineal. Por ejemplo, si con una honda se lanza una piedra pequeña y una grande, aplicando la misma fuerza a cada una, la piedra pequeña se acelerará mucho más que la grande. El momento de inercia es pues similar a la inercia, con la diferencia que es aplicable a la rotación más que al movimiento lineal. La inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a continuar moviéndose en línea recta a la misma velocidad. La inercia puede interpretarse como una nueva definición de masa. El momento de inercia es, pues, masa rotacional y depende de la distribución de masa en un objeto. Cuanta mayor distancia hay entre la masa y el centro de rotación, mayor es el momento de inercia. El momento de inercia se relaciona con las tensiones y deformaciones máximas producidas por los esfuerzos de flexión en un elemento estructural, por lo cual este valor determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión junto con las propiedades de dicho material. Momentos de inercia de figuras planas conocidas más utilizadas : Rectángulo de altura h y ancho b, respecto a los ejes que, siendo paralelos a los lados del mismo, pasan por su centro de gravedad: Triángulo isósceles de base b y altura h, respecto a los ejes que, siendo paralelos a base y altura, pasan por su centro de gravedad: Triángulo rectángulo de base b y altura h, respecto a los ejes que, siendo paralelos a los lados del mismo, pasan por su centro de gravedad: Círculo de radio R, respecto de cualquier eje que pase por su centro de gravedad: Semicírculo de radio R, respecto de los ejes que pasan por su centro de gravedad (el eje X paralelo al lado plano): Cuadrante (Cuarto de círculo) de radio R, respecto a los ejes que, siendo paralelos a los lados planos, pasan por su centro de gravedad: MOMENTO DE INERCIA Ing. José Luis Albornoz Salazar -1-

    edu.red XG YG 35,2 cm CÓMO CALCULAR EL MOMENTO DE INERCIA DE UNA FIGURA PLANA COMPUESTA : Ejemplo 1 : Calcular el momento de inercia de la siguiente figura plana compuesta : 2do paso : Se determinan las áreas de estas figuras simples y se identifican como A1, A2 y A3 A1 = base por altura = 30 x 1,9 = 57,00 cm2 A2 = base por altura = 1,1 x 35,2 = 38,72 cm2 A3 = base por altura = 30 x 1,9 = 57,00 cm2 Atotal = A1 + A2 + A3 = 57 + 38,72 + 57 = 152,72 cm2 3er paso : Se Calcula la ubicación del centro de masa de la figura compuesta : Las coordenadas del centro de masa de una figura plana compuesta vienen dadas por las siguientes formulas : 1er paso : Se divide la figura compuesta en figuras planas sencillas de las que conozcamos las fórmulas para calcular su área y su momento de inercia. En este caso en particular podemos dividirla en 3 rectángulos : Donde “Ai” es el área de la figura simple estudiada, “Xi” es la abscisa del centro de masa de dicha figura simple y “Yi” la ordenada del centro de masa de la misma figura simple. Fijamos un sistema rectangular de coordenadas e indicamos la distancia que hay desde el origen hasta el centro de masa de cada una de las figuras simples en las que dividimos la figura compuesta. Recuerde que el centro de masa de un rectángulo está ubicado a un medio de su base y a un medio de su altura. MOMENTO DE INERCIA Ing. José Luis Albornoz Salazar -2-

    edu.red o o o o o Para su posterior uso estas distancias son identificadas como : X1 = 15 cm X2 = 15 cm X3 = 15 cm Y1 = 38,05 cm Y2 = 19,5 cm Se confirma el enunciado que dice : “Si una figura plana posee un eje de simetría, su centro de masa estará ubicado sobre éste.” Esta figura en particular posee un eje de simetría horizontal y un eje de simetría vertical, luego su centro de masa estará ubicado en el punto de intersección de sus dos ejes de simetría. o Y3 = 0,95 cm Sustituyendo estos valores en las fórmulas : XG XG YG YG El centro de masa de la figura compuesta estará ubicado en las coordenadas (15 , 19.5) 4to paso : Se calculan las distancias que hay desde cada centro de masa de las figuras sencillas hasta el centro de masa de la figura compuesta. MOMENTO DE INERCIA Ing. José Luis Albornoz Salazar -3-

    edu.red ? I2y + + En este caso notamos que todos los centros de masa de las figuras sencillas están contenidos en el eje “YG” del centro de masa de la figura compuesta, luego : X1G , X2G y X3G = 0 cm Con relación a las distancias con el eje “XG” : Y1G = 18,55 cm Y2G = 0 cm 6to paso : Se calcula el momento de inercia de cada una de las figuras sencillas respecto a los ejes “XG” e “YG” aplicando el teorema del eje paralelo, es decir el Teorema de Steiner. Ïi,x = Iix + Ai(YiG)2 Ïi,y = Iiy + Ai(XiG)2 Y3G = 18,55 cm 5to paso : Se calculan los momentos de inercia de las figuras sencillas con respecto a sus ejes (que serán paralelos a “YG” y “XG”); para lo cual utilizaremos las fórmulas que se encuentran en la primera página de esta guía. Rectángulo de altura h y ancho b, respecto a los ejes que, siendo paralelos a los lados del mismo, pasan por su centro de gravedad: Ï1,x = I1x + A1(Y1G)2 = Ï2,x = I2x + A2(Y2G)2 = Ï3,x = I3x + A3(Y3G)2 = Ï1,y = I1y + A1(X1G)2 = Ï2,y = I2y + A2(X2G)2 = Ï3,y = I3y + A3(X3G)2 = + 57(18,55)2 = + (38,72) (0)2 = + 57(18,55)2 = + 57(0)2 = + (38,72) (0)2 = + 57(0)2 = Para la figura 1: I1x I1y Para la figura 2: I2x 7mo paso : Se calculan los momentos de inercia de la figura compuesta a partir de los momentos anteriores : Ix,total = ? Ïi,x Iy,total = ? Ïi,y Ix,total = Ï 1,x + Ï 2,x + Ï 3,x = 19.631 + 3.998 + 19.631 = 43.260 cm4 Para la figura 3: I3x I3y Iy,total = Ï1,y + Ï2,y + Ï3,y = = 8.554 cm4 MOMENTO DE INERCIA Ing. José Luis Albornoz Salazar -4-

    edu.red o o o El conocimiento pleno de las definiciones y enunciados en materia de centro de masa, centro de gravedad, centroide y momentos de inercia nos permiten arribar a los resultados de una manera más rápida y segura. A continuación resolveremos el ejercicio anterior por un “método resumido” que nos permitirá llegar a la 3er paso : Se calcula la ubicación del centro de masa de la figura compuesta : Fijamos un sistema rectangular de coordenadas e indicamos la distancia que hay desde el origen hasta el centro de masa de cada una de las figuras simples en las que dividimos la figura compuesta. Recuerde que el centro de masa de un rectángulo está ubicado a un medio de su base y a un medio de su altura. misma solución : 1er paso : Se divide la figura compuesta en figuras planas sencillas de las que conozcamos las fórmulas para calcular su área y su momento de inercia. En este caso en particular podemos dividirla en 3 rectángulos : 35,2 cm Para su posterior uso estas distancias son identificadas como : 2do paso : Se determinan las áreas de estas figuras simples y se identifican como A1, A2 y A3 o o o X1 = 15 cm X2 = 15 cm X3 = 15 cm Y1 = 38,05 cm Y2 = 19,5 cm Y 3 = 0,95 cm A1 = base por altura = 30 x 1,9 = 57,00 cm2 A2 = base por altura = 1,1 x 35,2 = 38,72 cm2 A3 = base por altura = 30 x 1,9 = 57,00 cm2 Atotal = A1 + A2 + A3 = 57 + 38,72 + 57 = 152,72 cm2 Se debe tener presente que : “Si una figura plana posee un eje de simetría, su centro de masa estará ubicado sobre éste.” Esta figura en particular posee un eje de simetría horizontal y un eje de simetría vertical, luego su centro de masa estará ubicado en el punto de intersección de sus dos ejes de simetría. MOMENTO DE INERCIA Ing. José Luis Albornoz Salazar -5-

    edu.red I2y = Para la figura 1: I1x I1y Para la figura 2: I2x El centro de masa de la figura compuesta estará ubicado en las coordenadas (15 , 19.5) …..(XG , YG) Para la figura 3: I3x I3y 5to paso : Se calcula el momento de inercia de cada una de las figuras sencillas respecto a los ejes “XG” e “YG” aplicando el teorema del eje paralelo, es decir el Teorema de Steiner. Ïi,x = Iix + Ai(Yi – YG)2 Ïi,y = Iiy + Ai(Xi – XG)2 4to paso : Se calculan los momentos de inercia de las figuras sencillas con respecto a sus ejes (que serán paralelos a “Y” y “X”); para lo cual Ï1,x = I1x + A 1 (Y 1 – Y G ) 2 = + 57 (38,05 – 19,5)2 utilizaremos las fórmulas que se encuentran en la primera página de esta guía. Ï2,x = I2x + A2 (Y2 – YG)2 = + (38,72) (19,5 – 19,5)2 ? Rectángulo de altura h y ancho b, respecto a los ejes que, siendo paralelos a los lados del mismo, pasan por su centro de gravedad: = MOMENTO DE INERCIA Ing. José Luis Albornoz Salazar -6-

    edu.red Ï3,x = I3x + A3 (Y3 – YG)2 = + 57 (0,95 – 19,5)2 Ejemplo 2 : Calcular el momento de inercia de la siguiente figura plana compuesta : = Ï1,y = I1y + A1 (X1 – XG)2 = Ï2,y = I2y + A2 (X2 – XG)2 = = Ï3,y = I3y + A3 (X3 – XG)2 = + 57(15 – 15)2 = + (38,72) (15 – 15)2 + 57(15 – 15)2 = 6to paso : Se calculan los momentos de inercia de la figura compuesta a partir de los momentos anteriores : Ix,total = ? Ïi,x Iy,total = ? Ïi,y 1er paso : Se divide la figura compuesta en figuras planas sencillas de las que conozcamos las fórmulas para calcular su área y su momento de inercia. En este caso en particular podemos dividirla en 2 rectángulos : Ix,total = Ï1,x + Ï2,x + Ï3,x = 19.631 + 3.998 + 19.631 = 43.260 cm4 Iy,total = Ï1,y + Ï2,y + Ï3,y = + + = 8.554 cm4 2do paso : Se determinan las áreas de estas figuras simples y se identifican como A1 y A2 A1 = base por altura = 100 x 20 = 2000 cm2 A2 = base por altura = 40 x 80 = 3200 cm2 Atotal = A1 + A2 = 2000 + 3200 = 5200 cm2 MOMENTO DE INERCIA Ing. José Luis Albornoz Salazar -7-

    edu.red YG Esta figura en particular posee un eje de simetría vertical, luego su 3er paso : Se calcula la ubicación del centro de masa de la figura compuesta : Fijamos un sistema rectangular de coordenadas e indicamos la distancia que hay desde el origen hasta el centro de masa de cada una centro de masa estará ubicado a 50 cm a la derecha del origen del sistema de coordenadas fijado. Nos faltaría ubicar la ordenada del centro de masa, para eso aplicamos la fórmula siguiente : de las figuras simples en las que dividimos la figura compuesta. Recuerde que el centro de masa de un rectángulo está ubicado a un medio de su base y a un medio de su altura. Donde “Ai” es el área de la figura simple estudiada, y “Yi” la ordenada del centro de masa de la misma figura simple. YG El centro de masa de la figura compuesta estará ubicado en las coordenadas (50 , 59.23)…..(XG , YG) Para su posterior uso estas distancias son identificadas como : o o o o X1 = 50 cm X2 = 50 cm Y1 = 90 cm Y2 = 40 cm Se debe tener presente que : “Si una figura plana posee un eje de simetría, su centro de masa estará ubicado sobre éste.” 4to paso : Se calculan los momentos de inercia de las figuras sencillas con respecto a sus ejes (que serán paralelos a “Y” y “X”); para lo cual MOMENTO DE INERCIA Ing. José Luis Albornoz Salazar -8-

    edu.red ? I1y + + utilizaremos las fórmulas que se encuentran en la primera página de esta guía. Rectángulo de altura h y ancho b, respecto a los ejes que, siendo paralelos a los lados del mismo, pasan por su centro de gravedad: Ï2,x = I2x + A2 (Y2 – YG)2 = = Ï1,y = I1y + A1 (X1 – XG)2 = = Ï2,y = I2y + A2 (X2 – XG)2 = + (3200) (40 – 59,23)2 + 2000(50 – 50)2 + (3200) (50 – 50)2 = Para la figura 1: I1x 6to paso : Se calculan los momentos de inercia de la figura compuesta a partir de los momentos anteriores : Para la figura 2: I2x I2y Ix,total = ? Ïi,x Iy,total = ? Ïi,y Ix,total = Ï1,x + Ï2,x = = 4.850.257 cm4 5to paso : Se calcula el momento de inercia de cada una de las figuras sencillas respecto a los ejes “XG” e “YG” aplicando el teorema del eje Iy,total = Ï1,y + Ï2,y = = 2.093.334 cm4 paralelo, es decir el Teorema de Steiner. Ïi,x = Iix + Ai(Yi – YG)2 Ïi,y = Iiy + Ai(Xi – XG)2 Ï1,x = I1x + A1 (Y1 – YG)2 = = + 2000 (90 – 59,23)2 MOMENTO DE INERCIA Ing. José Luis Albornoz Salazar -9-