2 ?? + ???? = ? ( 2 + 2 ???? = ? ( 2 + 2 INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES ??(??) Si f(x) es una función racional, entonces f(x)= ??(??); donde p y q son polinomios, vamos a evaluar ? f(x)dx ??(??) . Se buscará que ??(??) sea expresada como una descomposición en fracciones parciales. Considere los siguientes casos: ??(??) 2.1) Cuando en la integral ? ??(??) ????, la función polinómica q(x) se descompone en factores todos lineales y distintos es decir: q(x) = an(x-?1) (x-?2)……. (x-?n) a la función f(x)= ??(??) ??(??) se expresa como una suma de fracciones simples: ? ??(??) ??(??) ???? = ? ( ??1 ??2 + ?? – ??1 ?? – ??2 +?+ ???? ?? – ???? ) ???? Donde: A1, A2,…An son constantes que se van a determinar ??(??) 2.2) Cuando en la integral ? ??(??) ????, la función polinómica q(x) se descompone en factores todos lineales y algunos repetidos, suponiendo que x-a, es factor lineal que se repite p veces, es decir: q(x) = an(x-a)(x- a)…(x-a)(x-?p+1)…….(x-?n) a la función f(x)= ??(??) ??(??) se expresa como una suma de fracciones simples: ? ??(??) ??(??) ???? = ? ( ??1 ??2 + ?? – ?? (?? – ??) +? ???? (?? – ??) + ????+1 ?? – ????+1 + ?+ ???? ?? – ???? ) ???? Donde: A1, A2,…An son constantes que se van a determinar ??(??) 2.3) Cuando en la integral ? ??(??) ????, la función polinómica q(x) se descompone en factores todos lineales y cuadráticos irreducibles y ninguno se repite, es decir: q(x) = an(x2+b1x+c1)(x2+b2x+c2)(x2+b3x+c3)(x-?4)…(x-?n) a la función f(x)= ??(??) ??(??) se expresa como una suma de fracciones simples: ? ??(??) ??(??) ??1 ?? + ??1 ??2 ?? + ??2 ???? ?? + ??1 ?? + ??1 ?? + ??2 ?? + ??2 ?? – ???? + ?+ ???? ?? – ???? ) ???? Donde: A1, A2,…An, B1, B2 son constantes que se van a determinar ??(??) 2.4) Cuando en la integral ? ??(??) ????, la función polinómica q(x) se descompone en factores todos lineales y cuadráticos repetidos en donde los factores cuadráticos irreducibles se repiten es decir: ??(??) q(x) = an(x2+bx+c)2(x-?3)…(x-?n) a la función f(x)= ??(??)se expresa como una suma de fracciones simples: ? ??(??) ??(??) ??1 ?? + ??1 ??2 ?? + ??2 ?? + ???? + ?? (?? + ???? + ??) 2 + ??3 ?? – ??3 +?+ ???? ?? – ???? ) ???? Donde: A1, A2,…An, B1, B2 son constantes que se van a determinar
1) ? 3 = = = = { Ejemplo ilustrativos 4?? 2 + 9?? – 1 ?? + 2?? 2 – ?? – 2 ???? Factorando el denominador ?? 3 + 2?? 2 – ?? – 2 = (?? 3 + 2?? 2 ) – (?? + 2) = ?? 2 (?? + 2) – (?? + 2) = (?? + 2)(?? 2 – 1) ?? 3 + 2?? 2 – ?? – 2 = (?? + 2)(??2 – 1) = (?? + 2)(?? + 1)(?? – 1) Calculando las fracciones parciales 4?? 2 + 9?? – 1 ?? ?? ?? = + + (?? + 2)(?? + 1)(?? – 1) ?? + 2 ?? + 1 ?? – 1 4?? 2 + 9?? – 1 (?? + 2)(?? + 1)(?? – 1) 4?? 2 + 9?? – 1 (?? + 2)(?? + 1)(?? – 1) 4?? 2 + 9?? – 1 (?? + 2)(?? + 1)(?? – 1) 4?? 2 + 9?? – 1 (?? + 2)(?? + 1)(?? – 1) ??(?? + 1)(?? – 1) + ??(?? + 2)(?? – 1) + ??(?? + 2)(?? + 1) (?? + 2)(?? + 1)(?? – 1) ??(?? 2 – 1) + ??(?? 2 – ?? + 2?? – 2) + ??(?? 2 + ?? + 2?? + 2) (?? + 2)(?? + 1)(?? – 1) ??(?? 2 – 1) + ??(?? 2 + ?? – 2) + ??(?? 2 + 3?? + 2) (?? + 2)(?? + 1)(?? – 1) ???? 2 – ?? + ???? 2 + ???? – 2?? + ???? 2 + 3???? + 2?? (?? + 2)(?? + 1)(?? – 1) 4?? 2 + 9?? – 1 = ???? 2 + ???? 2 + ???? 2 + ???? + 3???? – ?? – 2?? + 2?? 4?? 2 + 9?? – 1 = (?? + ?? + ??)?? 2 + (?? + 3??)?? – ?? – 2?? + 2?? Se forma el sistema ?? + ?? + ?? = 4 ?? + 3?? = 9 -?? – 2?? + 2?? = -1 ?? + ?? + ?? = 4 {0?? + ?? + 3?? = 9 ?? + 2?? – 2?? = 1 Resolviendo el sistema en GeoGebra
?? ? ? ? ? Remplazando valores 4?? 2 + 9?? – 1 -1 3 2 = + + (?? + 2)(?? + 1)(?? – 1) ?? + 2 ?? + 1 ?? – 1 Calculando las fracciones parciales en GeoGebra ???? Aplicando ? = ????|??| + ?? en 4?? 2 + 9?? – 1 -1 3 2 = + + (?? + 2)(?? + 1)(?? – 1) ?? + 2 ?? + 1 ?? – 1 ? ?? 4??2 + 9?? – 1 3 + 2?? 2 – ?? – 2 ???? = – ? ???? ?? + 2 + 3? ???? ?? + 1 +2? ???? ?? – 1 4??2 + 9?? – 1 ?? 3 + 2?? 2 – ?? – 2 4??2 + 9?? – 1 ?? 3 + 2?? 2 – ?? – 2 4??2 + 9?? – 1 ?? 3 + 2?? 2 – ?? – 2 ???? = -????|?? + 2| + 3????|?? + 1| + 2????|?? – 1| + ?? ???? = -????|?? + 2| + ????|(?? + 1)3 | + ????|(?? – 1)2 | + ?? ???? = ????|(?? + 1)3 (?? – 1)2 | – ????|?? + 2| + ?? 4??2 + 9?? – 1 ?? 3 + 2?? 2 – ?? – 2 (?? + 1)3 (?? – 1)2 ???? = ???? | ?? + 2 | + ?? Resolviendo el ejercicio en GeoGebra
1) ? 3 7 4 2 2) ? 4?? – 2 ?? 3 – ?? 2 – 2?? ???? Resolviendo en GeoGebra Ejercicios de Aplicación Integrar las siguientes expresiones y graficar empleando algún medio tecnológico las funciones para C=0 4?? 2 + 13?? – 9 ?? + 2??2 – 3?? ???? ?? 3 (?? – 1)2 ???? | ?? + 3 | + ?? 2) ? 5?? – 7 ?? 3 – 4?? 2 + ?? + 6 ???? ???? | (?? – 3)2 (?? – 2)(?? + 1) | + ?? 3) ? ?? 3 – 3?? + 4 (?? – 1)3 (?? + 1) ???? ????|?? – 1| + 1 1 – 2(?? – 1) 2(?? – 1) 3 – ????|?? + 1| + ?? 4
5) ? 3 ???? 7) ? 2 ?? + 1 ???? | 2 4) ? ?? 3 + ?? 2 – 2?? – 3 (?? + 1)2 (?? – 2)2 ???? – 5 27 ????|?? + 1| + 1 32 + 9(?? + 1) 27 ????|?? – 2| + 5 9(?? – 2) + ?? 4?? 2 + 6 ?? + 3?? ????|?? 2 (?? 2 + 3)| + ?? 6) ? 2?? 2 – 8?? – 8 (?? – 2)(?? 2 + 4) ???? ?? 3 + 3?? (?? + 1)2 ???? ???? ( ?? 2 + 4 ?? – 2 2 ) + ?? 1 2 ????|?? 2 + 1| – 2 1 + ?? 8) ? 1 ??(?? 2 + 1)2 ???? 1 2 ?? 2 ?? + 1 |+ 1 2(?? 2 + 1) + ??