EJEMPLOS
Problema B-7-1.
En el sistema de la Fig. 7-91 el interruptor se cierra en t=0. Encuentre el voltaje e0(t). Suponga al capacitor descargado inicialmente.
(1)
(2)
Usando transformada de Laplace:
(3)
(4)
Despejando I(s) de (4):
Sustituyendo I(s) en (3):
Descomposición en fracciones parciales:
Usando transformada inversa de Laplace:
Problema B-7-2.
En relación con la Fig. 7-92 la fuente de voltaje E se conecta súbitamente por medio del interruptor S en el instante t = 0. Suponga al capacitor C descargado inicialmente y que la inductancia L no lleva corriente inicial. ¿Cuál es la corriente i (t)?
Problema B-7-3.
La masa m (m = 1 kg) esta vibrando inicialmente en el sistema mecánico mostrado en la Fig. 7-93. En t=0 golpeamos la masa con una fuerza impulsiva p(t) cuya magnitud es de 10 N. Suponiendo que la constante del resorte k es de 100 N/m y que x(0-) = 0.1 m y x´(0-) = 1 m/s, x(t) se mide desde la posición de equilibrio en ausencia de la fuerza de excitación.
Sustituyendo valores:
Problema B-7-4.
Una vibración libre del sistema mecánico de la Fig 7-94(a) indica que la amplitud de la vibración decrece a 25% de su valor en t=t0 después de cuatro ciclos consecutivos de movimiento, como se muestra en la Fig 7-94(b). Determine el coeficiente de fricción viscosa b del sistema si m = 1 kg y k =500 N/m.
mx"+ kx + bx’=0
S2+bS+500=0
S(S+b)=-500
b=-(500/S)-S
b=-[(500/S)+S
Problema B-7-5.
Una masa de 20 k esta soportada por un resorte y un amortiguador como se muestra en la Fig. 7-95(a). Cuando se agrega una masa de 2 kg a los 10 kg masa, el sistema vibra como se encuentra en la Fig. 7-95(b). Determine la constante del resorte k y el coeficiente de fricción viscosa b. [Note que (0.02/0.08) x 100 = 25% de la diferencia máxima que corresponde a ς = 0.4]
La solución particular es:
Problema B-7-6.
Considere el sistema mecánico mostrado en la figura siguiente. El péndulo m2 está soportado por la masa m1, la cual vibra a causa de una conexión elástica. Obtenga las ecuaciones de movimiento del sistema.
Solución:
fk= kx
fm1=mx"
fm2=lθ"+ g sen θ
kx + mx"+ lθ"+ g senθ + kx =O
mx"+ lθ"+ g sen θ + 2 kx =O
Problema B-7-7.
El sistema de la siguiente figura está inicialmente en reposo. En t=0 una masa m se pone en movimiento por una fuerza impulsiva cuya magnitud es la unidad. ¿Puede la masa detenerse por otra fuerza impulsiva semejante?
fk= kx
fm1=mx"
δ(t)=1
mx" + kx = δ(t)
x"+(k/m)x=1/m
£{x"}+(k/m)£{x}=1/m
s2X(s)+(K/M)X(s)= 1/M
X(s) [s2+(K/M)]=1/M
El sistema lleva un movimiento vibratorio hasta que una fuerza externa actúa en el sistema para detenerlo, puesto que la fuerza del amortiguador no existe.
Problema B-7-8.
La siguiente figura muestra un sistema que consiste en una masa y un amortiguador. El sistema está inicialmente en reposo. Cuando se pone en movimiento mediante una fuerza impulsiva cuya magnitud es la unidad, encuentre la respuesta x(t). Determine la velocidad inicial de la masa m
fb=bx’
fm=mx"
δ(t)=1
mx"+ bx’= δ(t)
x"+(b/m)x’=1/m
£{x"}+(b/m)£{x’}=1/m
Problema B-7-9.
Encuentre las funciones de transferencia X0(s)/X1(s) y E0(s)/E1(s) de los sistemas mecánicos y el eléctrico mostrados en la figura siguiente respectivamente.
a) b)
Sistema eléctrico análogo
Problema B-7-10.
Obtenga las funciones de transferencia X0(s)/X1(s) y E0(s)/E1(s) de los siguientes sistemas y muestre que son análogos
a) b)
b1 (x’i – x’o) + k1 (xi – xo) = b2 x’o
b1 x’i – b1 x’o + k1xi – k1xo = b2 x’o
sb1 Xi(s) – sB1 Xo(s) + k1Xi (s) – k1Xo(s) = sB2 Xo(s)
sb1 Xi(s) + K1Xi (s) = sb1 Xo(s) + k1Xo(s) + sB2 Xo(s)
Xi(s) [sb1 + k1] = Xo(s) [sb1 + k1 + sb2]
Circuito eléctrico análogo:
Problema B-7-11.
Después de encontrar la función de transferencia Xo(s)/X1(s) del sistema mecánico mostrado en la Fig. 7-101, obtenga un sistema eléctrico análogo
Sistema eléctrico análogo
Problema B-7-12.
Encuentre la función de transferencia E0(s)/E1(s) del sistema eléctrico mostrado en la Fig 7-102. Además, encuentre un sistema mecánico análogo
Problema B-7-13.
Obtenga tanto la función de transferencia E0(s)/E1(s) del sistema mecánico mostrado en la Fig. 7-103, como también un sistema eléctrico análogo.
Sistema eléctrico análogo:
Problema B-7-14.
En el sistema térmico mostrado en la Fig 7-104(a) se supone que el tanque esta aislado para evitar perdidas de calor hacia el aire del medio ambiente, que no hay almacenamiento de calor en el aislamiento y que el liquido en el tanque esta perfectamente mezclado de modo que se le done a una temperatura uniforme. Así que puede usarse una sola temperatura para denotar la temperatura del líquido en el tanque y la del liquido que sale. Posteriormente se supone que la rabón del flujo de liquido hacia el tanque y saliendo del tanque es constante e igual a o iK. Para t<0 el sistema se encuentra en estado permanente y el calentador suministra calor a razón de H J/s. En t=0 la razón de entrada de calor se cambia de H a H +h J/s. Este cambio causa que la temperatura del liquido que sale cambie de Oo aOo + teta k. Suponga que el cambio en temperatura teta k es la salida y que el cambio en la entrada de calor h J/s, es la entrada al sistema . Determine la función de transferencia térmico es análogo al sistema eléctrico mostrado en la figura 7-104b, donde el voltaje e0 es la salida y la corriente i es la entrada.
Problema B-7-15.
Una piedra con masa de 0.1 kg esta unida al extremo de una cuerda de 1m y gira a una velocidad angular de 1 Hz. Encuentre la tensión en la cuerda. Si la máxima tensión que la cuerda permite es de 40N, ¿Cuál es la velocidad angular máxima en hz que puede obtenerse sin romper la cuerda?
Problema B-7-16.
En el regulador de velocidad de la fig. 7-105, ¿Cuál es la frecuencia w necesaria para mantener la configuración mostrada en el diagrama?
Problema B-7-17.
El sistema masa resorte mostrado en la Fig. 7-106 esta inicialmente en reposo. Si se excita la masa mediante una fuerza senoidal p(t) =P sen wt, ¿Cuál es la respuesta x(t)? suponga que m= 1 kg, K =100 N/m, P =5N, y w = 2 rad/s
Sustituyendo valores:
Problema B-7-18.
Una máquina rotatoria de masa Ma=.0 kg a una distancia r = 0.5m del centro de rotación. (La masa M incluye a la masa m)). La velocidad de operación es de 10hz. Suponga que la maquina esta montada sobre un aislador que consta de de un resorte y un amortiguador como se muestra en la Fig. 7-107. Si se desea tener a símbolo raro =0.2, especifique la constante del resorte k tal que solamente 10% de la fuerza de excitación se transmita a la cimentación. Determine la amplitud de la fuerza transmitida.
Problema B-7-19.
En la Fig 7-108 un instrumento esta sujeto a una base cuyo movimiento se va a medir. El movimiento relativo entre la masa m y la base, registrado en un tamborrotatotio indicara el movimiento de la base z=x y es el movimiento de la pluma relavio a la base. Si el movimiento de la base es y =Y sea wt ¿Cuál relación de amplitudes de z con respecto a y en estado estable? Muestre que si w >>wn, este puede usarse para medir la aceleración de la base.
Problema B-7-20.
La figura 7-109 muestra una maquina m montada sobre un aislador en el cual el resorte k1 es el resorte que soporta a la cara y el amortiguador viscoso b2 esta en serie con el resorte k2. Determine la transmisibilidad de la fuerza cuando la masa m este sometida a una fuerza de excitación p(t)=P sen wt. Determine también la amplitud de la fuerza transmitida a la cimentación.
Problema B-7-21.
Una máquina m esta montada sobre un aislador en la Fig. 7-110. Si la cimentación está vibrando de acuerdo con y = Y sen ωt, donde y es el desplazamiento de la cimentación, encuentre la amplitud de vibración de la maquina. Determine la transmisibilidad del movimiento.
si 
Problema B-7-22.
La figura 7-111 muestra una máquina con un absorbedor de vibración dinámica. La frecuencia natural no amortiguada del sistema en ausencia del absorbedor de vibración dinámica es 
. Suponga que la frecuencia de operación 
está próxima a 
. Si el absorbedor de vibración dinámica se sintoniza de modo que 
, ¿Cuál es la amplitud de la masa 
del absorbedor de vibración?
Fuerza transmitida a la cimentación:
La amplitud de esa fuerza transmitida es 
, donde 
está dada, 
Si 
y 
están dadas de modo que 
o 
, entonces 
y la fuerza transmitida a la cimentación es cero. De modo que si la frecuencia natural , es posible eliminar la fuerza transmitida a la cimentación.
Si y se escogen de modo 
irazu rivadeneyra