-1- MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (método práctico) El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Sólo se aplica con números naturales, es decir, no se usan decimales, números negativos o números complejos. ¿Qué es un múltiplo? Los múltiplos de un número son lo que obtienes cuando lo multiplicas por otros números (si lo multiplicas por 1,2,3,4,5, etc.) como en las tablas de multiplicar. Aquí tienes ejemplos: Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, etc… Los múltiplos de 12 son 12, 24, 36, 48, 60, 72, etc… ¿Qué es un "múltiplo común"? Si tienes dos (o más) números, y miras entre sus múltiplos y encuentras el mismo valor en las dos listas, esos son los múltiplos comunes a los dos números. Por ejemplo, si escribes los múltiplos de dos números diferentes (digamos 4 y 5) los múltiplos comunes son los que están en las dos listas: Los múltiplos de 4 son : 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,… Los múltiplos de 5 son : 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,… ¿Ves que 20 y 40 aparecen en las dos listas? Entonces, los múltiplos comunes de 4 y 5 son: 20, 40 (y 60, 80, etc. también). MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO ¿Qué es el "mínimo común múltiplo"? Es simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes. En el ejemplo anterior, el menor de los múltiplos comunes es 20, así que el mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20. Otra forma de explicarlo : También se puede decir que el mínimo común múltiplo de dos o más números naturales es el menor número natural por el cual se pueden dividir simultáneamente dichos números. Por ejemplo, 2 y 4 dividen simultáneamente a 4, a 8, a 12, a 16, a 20, etc. En otras palabras 4, 8, 12, 16, 20, etc. son múltiplos comunes de 2 y 4. El menor de ellos es 4, por lo tanto el mínimo común múltiplo de 2 y 4 es 4. Otro ejemplo : 3 y 5 dividen simultáneamente a 15, a 30, a 45, a 60, etc. En otras palabras 15, 30, 45, 60, etc. son múltiplos comunes de 3 y 5. El menor de ellos es 15, por lo tanto el mínimo común múltiplo de 3 y 5 es 15. A continuación trataremos de explicar la manera práctica de calcular el mínimo común múltiplo (mcm) de números naturales. Ejemplo 1 : Calcular el mínimo común múltiplo de 12, 4 y 8. Se dibuja una tabla que tenga por lo menos tantas columnas como la cantidad de números a los que le vamos a calcular el mcm. Ing. José Luis Albornoz Salazar
3 -2- Se colocan (en los cuadros superiores) los números a los que le vamos a calcular el mcm : 6 entre 2 = 3 2 entre 2 = 1 4 entre 2 = 2 12 4 8 12 6 4 2 8 4 2 2 3 1 2 Ahora se procede a descomponer en factores primos a los números de manera simultánea. Recuerde que los números primos son : 2, 3. 5, 7, 11, 13…….etc. Generalmente se empieza dividiéndolos por 2 y el resultado se coloca debajo de cada uno. En caso de que ninguno de los números sea divisible por 2, verifico si alguno es divisible por 3; si no, veo si alguno es divisible por 5 (es decir, la operación se iniciará con el menor número primo que divida a alguno de los números estudiados) . Se sigue dividiendo por 2 (se coloca otro 2 en la columna derecha) y el resultado se coloca debajo de cada uno (si alguno de los números no es divisible por dos se coloca igual en el cuadro de abajo), cuando en alguna de las columnas aparezca “1” se deja de trabajar con dicho número. 3 entre 2 …. no es entera la división (se coloca 3 debajo) 2 entre 2 = 1 12 4 8 2 6 2 4 2 En este caso, como hay números divisibles por 2, empiezo por dicho número (se coloca 2 en la columna derecha). 3 3 1 2 1 2 Se divide cada número por 2 y el resultado se coloca debajo de dicho número (si alguno de los números no es divisible por 2 se coloca igual en el cuadro de abajo): Cuando ya no se pueda dividir por 2, paso a dividir por 3 (se coloca 3 en la columna derecha) : 12 entre 2 = 6 4 entre 2 = 2 8 entre 2 = 4 12 4 6 2 8 4 2 3 entre 3 = 1 12 4 6 2 1 3 8 4 2 1 2 2 2 3 1 Se sigue dividiendo por 2 (se coloca otro 2 en la columna derecha) y el resultado se coloca debajo de cada uno (si alguno de los números no es divisible por dos se coloca igual en el cuadro de abajo) : MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Al verificar que todas las columnas tienen al final el número “1” se sobre entiende que la operación ha finalizado. El mínimo común se encontrará multiplicando todos los factores usados para dividir. Ing. José Luis Albornoz Salazar
En este caso, como hay números divisibles por 2, empiezo por dicho mcm = 2 x 2 x 2 x 3 = 24 Verifique que 24 puede ser dividido por 12, 4 y 8 y los resultados (cocientes) serán números exactos. número. Se divide cada número por 2 (se coloca 2 en la columna derecha) y el resultado se coloca debajo de dicho número (si alguno de los números no es divisible por 2 se coloca igual en el cuadro de abajo): 3 entre 2 …. no es entera la división (se coloca 3 debajo) 20 entre 2 = 10 12 entre 2 = 6 Ejemplo 2 : Calcular el mínimo común múltiplo de 3, 20 y 12. Se dibuja una tabla que tenga por lo menos tantas columnas como la cantidad de números a los que le vamos a calcular el mcm. 3 3 20 10 12 6 2 Se sigue dividiendo por 2 (se coloca otro 2 en la columna derecha) y el resultado se coloca debajo de cada uno (si alguno de los números no es divisible por dos se coloca igual en el cuadro de abajo) : Se colocan (en los cuadros superiores) los números a los que le vamos a calcular el mcm : 3 entre 2 …. no es entera la división (se coloca 3 debajo) 10 entre 2 = 5 3 20 12 6 entre 2 = 3 3 3 20 10 12 6 2 2 Ahora se procede a descomponer en factores primos a los números 3 5 3 de manera simultánea. Recuerde que los números primos son : 2, 3. 5, 7, 11, 13…….etc. Generalmente se empieza dividiéndolos por 2 y el resultado se coloca debajo de cada uno. En caso de que ninguno de los números sea divisible por 2, verifico si alguno es divisible por 3; si no, veo si alguno es divisible por 5 (es decir, la operación se iniciará con el menor número primo que divida a alguno de los números estudiados) : MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Cuando ya no se pueda dividir por 2, paso a dividir por 3 (se coloca 3 en la columna derecha): 3 entre 3 = 1 5 entre 3 …. no es entera la división (se coloca 5 debajo) 3 entre 3 = 1 Ing. José Luis Albornoz Salazar – 3 –
-4- 3 3 3 1 20 10 5 5 12 6 3 1 2 2 3 Ejemplo 3 : Calcular el mínimo común múltiplo de 45, 3 y 15. Se dibuja una tabla que tenga por lo menos tantas columnas como la cantidad de números a los que le vamos a calcular el mcm. Cuando ya no se pueda dividir por 3, paso a dividir por 5 (se coloca 5 en la columna derecha) . Cuando en alguna de las columnas aparezca “1” se deja de trabajar con dicho número. Se colocan (en los cuadros superiores) los números a los que le vamos a calcular el mcm : 5 entre 5 = 1 45 3 15 3 3 3 20 10 5 12 6 3 2 2 3 1 5 1 1 5 Ahora se procede a descomponer en factores primos a los números de manera simultánea. Al verificar que todas las columnas tienen al final el número “1” se sobre entiende que la operación ha finalizado. El mínimo común se encontrará multiplicando todos los factores usados para dividir. mcm = 2 x 2 x 3 x 5 = 60 Verifique que 60 puede ser dividido por 3, 20 y 12 y los resultados (cocientes) serán números exactos. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Recuerde que los números primos son : 2, 3. 5, 7, 11, 13…….etc. Generalmente se empieza dividiéndolos por 2 y el resultado se coloca debajo de cada uno. En caso de que ninguno de los números sea divisible por 2, verifico si alguno es divisible por 3; si no, veo si alguno es divisible por 5 (es decir, la operación se iniciará con el menor número primo que divida a alguno de los números estudiados) : En este caso, ninguno de los números es divisible por 2 (no lo tomo en cuenta), como hay números divisibles por 3, empiezo por dicho número. Se divide cada número por 3 (se coloca en la columna derecha) y el resultado se coloca debajo de dicho número (si alguno de los números no es divisible por 3 se coloca igual en el cuadro de abajo): 45 entre 3 = 15 3 entre 3 = 1 15 entre 3 = 5 Ing. José Luis Albornoz Salazar
-5- 45 15 3 1 15 5 3 Se sigue dividiendo por 3 (se coloca otro 3 en la columna derecha) y el resultado se coloca debajo de cada uno (si alguno de los números no es divisible por 3 se coloca igual en el cuadro de abajo) cuando en alguna de las columnas aparezca “1” se deja de trabajar con dicho número. : 15 entre 3 = 5 5 entre 3 …. no es entera la división (se coloca 5 debajo) 45 3 15 3 DE TU INTERÉS 15 5 1 5 5 3 En la página www.eduweb20.com.ve encontrarás varios videos donde se explica de una manera detallada y muy didáctica éste y la mayoría de los temas de matemática de bachillerato (gratis). Cuando ya no se pueda dividir por 3, paso a dividir por 5 (se coloca 5 en la columna derecha) : 5 entre 5 = 1 5 entre 5 = 1 De igual forma puede solicitar cualquier video a la dirección [email protected] y se le enviará gratuitamente a la suya. 45 15 5 1 3 1 15 5 5 1 3 3 5 Al verificar que todas las columnas tienen al final el número “1” se sobre entiende que la operación ha finalizado. El mínimo común se encontrará multiplicando todos los factores usados para dividir. mcm = 3 x 3 x 5 = 45 Verifique que 45 puede ser dividido por 45, 3 y 15 y los resultados (cocientes) serán números exactos. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Ing. José Luis Albornoz Salazar