¿Qué sabrás al final del capítulo? Diseño de Sumadores Binarios Semisumadores Sumador completo Sumador con acarreo serie Sumador con acarreo anticipado Sumador / Restador Sumador BCD Diseño de Multiplicadores aritméticos Funcionamiento de los módulos lógicos Comparadores Generadores y detectores de paridad Conversores de códigos Diseño de una unidad aritmético-lógica elemental
Sumador Binario
Semisumador (Half Adder) La operación de suma aritmética tiene como resultado suma y acarreo No podemos propagar acarreos con semisumadores (Gp:) A B C S (Gp:) 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0
S = A ? B Propagación (Pi) C = A · B Generación (Gi)
Sumador Completo (Full Adder) Funcionamiento similar al semisumador añadiendo el acarreo de entrada (Gp:) Ai Bi Ci Ci+1 Si (Gp:) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
Si = Ai ? Bi ? Ci = Pi ? Ci Ci+1 = (Ai + Bi) Ci + (Ai Bi) =(Ai ? Bi) Ci + (Ai Bi) = Pi Ci + Gi
Sumador completo Podemos diseñarlo a partir de dos semisumadores
Sumador Completo ¿Cuál será el camino crítico? (Gp:) semisumador (Gp:) semisumador
Sumador Completo camino crítico tpo. retardo por puerta = 5 ns semisumador semisumador La salida Si llega 10 ns de retardo respecto a las entradas A y B y sólo 5 ns respecto a la entrada C La salida Ci+1 llega 15 ns de retardo respecto a las entradas A y B y sólo 10 ns respecto a la entrada C
Sumador paralelo con acarreo serie (Gp:) FA (Gp:) A0 B0 (Gp:) S0 (Gp:) C0 (Gp:) FA (Gp:) A1 B1 (Gp:) S1 (Gp:) C1 (Gp:) FA (Gp:) A2 B2 (Gp:) S2 (Gp:) C2 (Gp:) FA (Gp:) An-1 Bn-1 (Gp:) Sn-1 (Gp:) Cn-1 (Gp:) Cn (Gp:) Sn (Gp:) C3 (Gp:) …
Sumador paralelo con acarreo serie Cada sumador completo realiza una suma Genera un acarreo que se le transmite al sumador siguiente Los tiempos se van acumulando Si ts es el tiempo para realizar una suma y tc el tiempo para realizar un acarreo, resulta: Dato en S0 C1 S1 C2 ……… Sn-1 Sn = Cn Tiempo ts tc ts + tc 2 tc ……… ts + (n-1) tc n tc
Sumador con acarreo anticipado Los acarreos se evalúan anticipadamente con lógica de 2 niveles de puertas Las sumas se realizan posteriormente en paralelo En primer lugar se obtienen los términos de generación y propagación Pi = Ai ? Bi Gi = Ai Bi Todos los términos se calculan en paralelo desde el primer momento
Sumador con acarreo anticipado Cálculo del acarreo desarrollando la fórmula iterativa Ci+1 = Pi Ci + Gi todos los acarreos dependen de propagaciones, generaciones y acarreo inicial
cualquier función booleana puede expresarse con lógica de 2 niveles de puertas Cálculo de las sumas C1 = P0 C0 + G0 C2 = P1 C1 + G1 = P1 (P0 C0 + G0) + G1 = P1P0C0 + P1G0 + G1 C3 = P2 C2 + G2 = P2P1P0C0 + P2P1G0 + P2G1 + G2 C4 = P3 C3 + G3 = P3P21P0C0+P3P2P1G0+P3P2G1+P3G2+G3
Si = Pi ? Ci
Sumador con acarreo anticipado 1.- Propagación y Generación 3.- Sumas 2.- Acarreos t t 2t
Sumadores de 4 bits
Sumador / Restador A3 A2 A1 A0 B3 B2 B1 B0 S4 S3 S2 S1 S0 S/R S/R = 0 ? suma S/R = 1 ? resta sumador Complementador a 2 El uso del complemento a 2 permite realizar sumas y restas con un sumador y un poco de lógica adicional
Código BCD El código BCD es un código de 4 bits que representa los 10 dígitos decimales como si fueran binarios naturales Cada dígito decimal se sustituye por sus cuatro bits El código BCD, al igual que el binario, es un código ponderado de pesos 8 4 2 1 Puede haber otros códigos BCD con otra relación de ponderación o, incluso, no ponderados
Otros códigos BCD Decimal Código BCD Código BCD exceso3 Código BCD Aiken 0 0000 0011 0000 1 0001 0100 0001 2 0010 0101 0010 3 0011 0110 0011 4 0100 0111 0100 5 0101 1000 1011 6 0110 1001 1100 7 0111 1010 1101 8 1000 1011 1110 9 1001 1100 1111 autocomplementarios Ponderado 8 4 2 1 Ponderado 2 4 2 1 No Ponderado
Sumador BCD Suma números codificados en BCD, y genera otro BCD Si el resultado es > 10 es necesario corregir restando 10 A3 A2 A1 A0 B3 B2 B1 B0 S4 S3 S2 S1 S0 sumador corrección sumador corregir? 0 corregir = 0 ? “0000” corregir = 1 ? “0110” últimos 4 bits de +6 = últimos 4 bits de -10 Z4 Z3 Z2 Z1 Z0
Multiplicadores combinacionales
Multiplicadores La multiplicación aritmética coincide con el producto lógico FA FA FA FA FA FA
Módulos lógicos
Comparadores Comparador de 1 bit Comparador de 2 bits A0>B0 A0=B0 A0B1 ó (A1=B1 y A0>B0) A1=B1 y A0=B0 A1