[ f ?f 2 [ ] [ ] ? [ ? ? ?f 1?f 2?f 2 a22 [ ~ 1 -2 f ?f 2 [ [ Matrices Aumentadas
Matrices Equivalentes por filas Producción de matrices equivalentes por filas Una matriz Aumentada se transforma en una matriz equivalente por filas si: 1. Se intercambian dos filas ?f i?f j?
2. Se multiplica una fila por una constante no nula ?kf i?f j? 3. Se agrega un múltiplo constante de una fila a otra fila dada. ?f i?kf j?f j? Observación: La flecha ? significa “reemplaza a” Solución de sistemas lineales mediante matrices aumentadas. Ejemplo:
Resolver usando matrices aumentadas.
3×1?4×2=1 x1–2×2=7 (1) la matriz aumentada Solución:
Se comienza por escribir correspondiente a (1) [ 3 4 1 1 -2 7 ] (2) El objetivo consiste en usar las operaciones por filas mencionadas para intentar transformar la matriz (2) en la forma: [ 1 0 m 0 1 n ] (3) en la que m y n son números reales. La solución del sistema (1) será evidente entonces, ya que (3) será la matriz aumentada del siguiente sistema:
x1 = m x2 = n (4) Se procede ahora a usar las operaciones por filas para transformar la matriz (2) en la forma (3) 1. Para obtener el 1 de la esquina superior izquierda, se intercambian las filas 1 y 2 [ 3 1 4 -2 1 7 ] f 1?f 2 [ 1 -2 7 3 4 1 ] 2. Para obtener un 0 en la esquina inferior izquierda, se multiplica f 1 por ?-3? y se suma a f 2 , esto modifica a f 2 , pero no a f 1 , algunos encuentran util escribir ?-3?f 1 fuera de la matriz para prevenir errores aritméticos, como se ilustra a continuación: ] ?-3? 1 ?f ?f 2?f 2 [ 1 -2 7 0 10 -20 ] 3. Para obtener un 1 en la segunda fila, segunda columna ?a22? , se multiplica f 2 por 1/10 [ 1 -2 7 0 10 -20 ] 1 10 2 [ 1 -2 0 1 7 -2 ] x1 = 3 x2 = -2 (5) -3 6 -21 1 -2 7 3 4 1 4. Para obtener un 0 en la primera fila, segunda columna ?a12? , se multiplica 2 por f 2 y se suma el resultado a f 1 , esto modifica a f 1 pero no a f 2 0 2 -4 1 -2 7 1 0 3 0 1 -2 2f 2?f 1?f 1 0 1 -2 Con eso se logra el objetivo. La última es la matriz aumentada del sistema: 3. Se necesita un 1 en 1. Se necesita un 1 en a11 [ 3 4 1 1 -2 7 ] f 1?f 2 2. Se necesita un 0 en a21 ~ 1 -2 7 3 4 1 ] -3 -3 6 -21 7 0 10 -20 ] 1 10 2 ~ 1 -2 0 1 7 -2 ] 4. Se necesita un 0 en a12 0 2 -4 2f ?2?f 1?f 1 1 0 3 0 1 -2 ] Respuesta ~ Por lo tanto: x1= 3, x2 = -2 Como el sistema (5) es equivalente al sistema (1), el problema queda resuelto, es decir x1=3 y x2=-2 . Descripción del proceso: 
Resolución de sistemas de ecuaciones Resolver mediante la eliminación de Gauss – Jordan:
[ 95.?untan-1udu= un?1 tan-1u–? 96.?ueaudu= 2 ?au –1?eau?C 97.?uneaudu= uneau– ?un-1eaudu 98.?e senbudu= 2 99.?eaucosbudu= 2 | | ? ? ?C 114.?u?2au–u du= 2u -au–3a ? ? ?2au–u2?a 2 cos-1 a– a u ?C ? ? ?2au –u2 du=-?2au– u2 -cos-1 a –u ?C 1 n?1 un?1du ?1–u2 ] , n?-1 1 a 1 n a a au eau a ?b2 eau a ?b2 ?asenbu–bcosbu??C
?acosbu?bsenbu??C 100.?lnudu=uln u–u?C 101.?unlnudu= un?1 ?n?1?2 [?n?1?lnu–1]?C 102.? 1 ulnu du=ln|ln u|?C 103.? senhudu=coshu?C 104.?coshudu=senhu?C 105.?tanh udu=ln coshu?C 106.?coth udu=ln|senhu|?C 107.? sechudu=tan-1|senhu|?C 108.?cschudu=ln tanh 1 2 u ?C 2 110.?csch2udu=-cothu?C 111.? sechu tanhudu=-sechu?C 112.?cschu cothudu=-cschu?C 113.??2au– u2 du= u-a 2 ??2au–u2? a2 2 cos-1 a –u a 2 2 2 6 3 2 u a 116.? u2 u a du -1 a – u a du a– u a 2 2
?C 2 Bibliografía: Stewart, James. Cálculo, Conceptos y Contextos. 2006. Editorial Thomson. 978 pp. Impreso en México.
2.?undu= un+1 3.? =ln|u|+C a 5.?audu= +C 16.? =sen-1 +C va2-u2 17.? 2du 2=1 tan-1 u+C = sec-1 +C 18.? uvu -a a a | | 19.? 2 ln +C du 1 u+a 2a u-a a -u2 | | 20.? ln +C du 1 u-a 2a u+a u2-a2 =-?a 2?u ?C | | du 1 b a?bu 1 n-1 du 73.? sennu du= senn-1u cosu? ?senn-2udu 28.? 50.? 2 =- ? 2 ln ?C u ?a?bu? a u ?a ?u a u 74.?cosnu du=1 cosn-1u senu?n-1?cosn-2udu 51.? 29.? ? 2 ln|a?bu|?C = 2 n n ?C 2= 2 a ?a ?u² ?a?bu? b ?a?bu? b ?a ?u ? 75.?tannu du= tann-1u–?tann-2u du | | du 1 1 a?bu u a -1u 52.? 30.??a -u du= ?a -u ? – 2 ln ?C n-1 = sen ?C a?a?bu? u u?a?bu? a 2 2 a ? ? u a4 -1u u2du 1 a2 76.?cotnu du= -1 cotn-1u –?cotn-2u du 31.?u ?a -u du= ?2u -a ??a -u ? n-1 53.? sen ?C = 3 a?bu- -2aln|a?bu| ?C b a?bu | | ?a2-u2 du=?a2-u2-aln a??a2-u2 ?C 77.? secnu du= 1 tan u secn-2u? n-2? secn-2u du 54.?u?a?bu du= ?3bu– 2a??a?bu?3/2?C 32.? -1 cot u cscn-2u? n-2 udu 2 ? secn-2u du ?a -u du=-1?a2-u2-sen-1 u?C 78.?csc u du= 55.? 2?bu–2a??a?bu?C 33.? n-1 n-1 ?a?bu 3b sen?a-b?u sen?a?b?u 79.? senau senbu du= u2du 2 ?C ? ?8a2?3b2u2–4abu??a?bu?C 56.? u du u a u = 34.? =- ?a2-u2- sen-1 ?C 2?a-b? 2?a?b? ? a?bu 15b ?a -u 2 a a sen?a-b?u sen?a?b?u | | ?a?bu–?a ?C , si a?o | | du 1 80.?cosaubu du= – ?C 35.? du 1 a??a2-u2 57.? = ln 2?a-b? 2?a?b? u?a?bu a a?bu??a ? ? cos?a-b?u cos?a?b?u u?a2-u2 81.? senaucosbu du=- ?C a u ? 2?a-b? 2?a?b? 2 a?bu du 1 tan ?C , si a?0 = =- 2 ?a -u ?C 2 2 36.? 2 82.?usenu du=senu –ucosu?C u ?a2-u2 a u u 3a u ?a?bu du=2?a?bu?a 83.?ucosu du=cosu?u senu?C ? u?a du ?bu 37.??a2-u2?3/2du=- ?2u2-5a2??a2-u2? sen-1 ?C 58.? 84.?u senudu=-u cosu?n?u 8 8 a u n n n-1 du =- 2 u 2 ?a?bu du=-?a?bu?b 38.? 59.? ? u?a?bu 85.?uncosu du=unsenu–n?un-1·senudu ?C du a ?a -u ?a -u ? u2 a2 | [un?a?bu?3/2–na?un-1?a?budu] |?C 60.?u ?a?bu du= 39.??u -a du= ?u -a – ln u??u -a undu 2un ?a?bu un-1du ? ?a?bu 86.?sen n-1u·cos m?1u du=?2 result.equivalentes? 2na 40.?u2?u2-a2du=u?2u2-a2??u2-a2-a ln|u??u2-a2|?C 61.? = – sen cos u n-1 ?u2-a2 du=?u2-a2-acos-1 a ?C =- ? ?senn-2u·cosmudu ?a?bu – 41.? 62.? n ? un-1 a?bu u |u| senn?1cosm-1u m-1 a?n-1?un-1 2a?n-1? ?sennu·cosm-2u du u ?a?bu ? ?u -a du=-?u -a ?ln|u??u2-a2|?C n?m n?m 42.? 63.? sen2u du= u- sen2u?C 87.? sen-1udu=u sen-1??1–u2?C Tabla de Integrales 1.?udv=uv-?vdu +C ,n?1 n+1 du u 4.?eudu=eu+C u lna 6.?senudu=-cosu+C 7.?cosudu=senu+C 8.?sec2udu=tanu+C 9.?csc2udu=-cotu+C 10.?secu·tanudu=secu+C 11.?cscu·cotudu=-cscu+C 12.?tan udu=ln|secu|+C 13.?cotudu=ln|senu|+C 14.?secudu=ln|secu+tanu|+C 15.?cscudu=ln|cscu-cot u|+C du u a
a +u u a du 1 u 2 2
=
= 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 du u udu a 1
4 8 8 a ?a?bu?2
u2 4 a
=- ln ?C u 2 2 2 u 2 2 2 2 n 2 2 2 b?2n?3?
8 8 ?a?bu b?2n?1? b?2n?1? =
3
=- 1 1 2 2 3/2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 3/2 2
u2 u 2 4 2 2 2 au u n n 1 2
2 u u 15b2 n-1 n-1
-1 ?-a -a 2 2 n – ·cosudu 4 n m
du b?2n-3? du n?m n?m 2 2 2 2 = ? 2 2 2 2 2 2 2 2 u a -1 -1 4 4 3 2 +C = u u 2 2 2 2 2 2 3
3 1 u 2 2 a?bu b 3 2 2 2 va +u 2 2b 1 1 n?1 du 1 u a u , n?-1 2 2 ?1–u2 
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