Circuito RL simple El objetivo es obtener la respuesta de un circuito resistor-inductor libre de fuentes; es decir, la respuesta natural. La respuesta natural de un circuito depende únicamente del almacenamiento interno de energía del circuito, y no de fuentes externas. Por ejemplo el circuito anterior, cuando el interruptor esta cerrado el inductor conduce una corriente constante y equivale a un corto circuito. Por lo tanto iL(0 ) =Vo R1 Cuando el interruptor se abre es cuando se da la respuesta natural del circuito por el hecho de que a partir de ese momento la fuente no tiene ninguna repercusión en el desarrollo del circuito y es cuando se ve el efecto de la energía almacenada en el circuito.
diL R ; i Ahora para el circuito; después de simplificar el circuito y planteando LKV para t =0 L diL dt +RiL =0 + iL =0 dt L Esta última es una ecuación diferencial de primer orden con coeficientes constantes y su forma general es: dx +ax =0 dt Donde: a = R L x =iL En ingeniería Eléctrica a esta ecuación se le conoce como ecuación sin fuentes Para determinar la variable dependiente contamos cos tres métodos básicos: Separación de variables Solución exponencial supuesta Operadores diferenciales en función del tiempo
x dx x dt Vo Estos métodos no son los únicos pero si los que simplifican mas el desarrollo de estas ecuaciones. Separación de variables Empezando con la ecuación general dx +ax =0 dt Y reacomodando dx = ax dt dx = a dt E integrando ? = a ? ln x = at +k Donde k es una constante de integración que se determinara con las condiciones iníciales de i y por comodidad para resolver la ecuación se pone k como iL(0 ) = =Io R ; k =ln Io ln iL = at +ln Io ln iL ln Io = at
L at ln iL Io = at i =e Io iL =Ioe iL =Ioe at at Rt / L Solución exponencial dx +ax =0 dt Solución supuesta: x = Aest d ( Aest ) +aAest =0 dt sAest +aAest =0 (s +a) Aest =0 Para que se cumpla la ecuación se tiene que (s +a) =0 ya que de otra manera el término Aest tendría que ser igual a 0, que es la solución trivial, y se obtendría x =0 para todo tiempo; por lo tanto: s = a De la solución propuesta x = Aest , tenemos que x = Ae
R R Vo Vo Retomando di +R i =0 dt L Para la solución: i =Aest di =sAest dt sAest + Aest =0 L Aplicando la ecuación s a =0 s + =0 L ; s = R L i = Ae Rt / L donde A corresponde a las condiciones iníciales; por lo que, para inductores A=i(0) . A = R1 Por lo tanto, obtendremos i = e R1 Rt / L De lo anterior podemos concluir que ambos métodos llegan a la misma ecuación, y que la elección de uno u otro, en circuitos RL simple dependerá del criterio personal.
at t t Respuesta de un circuito RL El circuito RL se puede describirse con la ecuación dx +ax =0 dt con solución; x =Ae Pero esta solución tan bien se puede escribir de la forma: x = Ae t Siendo: t = 1 a La constante t se llama constante de tiempo del circuito con unidades en segundos. También se puede ver que: t = L R Si se grafica la solución del circuito se ve que tendrá una grafica exponencial decreciente donde tendrá los valores e t para t =nt como se muestra en la figura.
L Se ve en la figura que la respuesta del circuito estará en funciona de la magnitud R y que después de t =5t la respuesta es menor del 1% de su valor inicial, donde podemos decir que a alcanzado su valor final. Como la respuesta es breve y transitoria se le suele llamar “respuesta transitoria” La respuesta transitoria es una respuesta temporal que desaparece con el tiempo. Bibliografía: Hayt – Kemmerly Análisis de Circuitos en Ingeniería Quinta Edición, McGraw Hill Dorf / Svoboda Circuitos Eléctricos Tercera Edición, Alfaomega Grupo Editor Dennos G. Zill Ecuaciones Diferenciales Sexta Edición, Thomson Editores